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Matemáticas 5 · Tema 12

Puntos críticos: máximos y mínimos

Apuntes — criterio de la segunda derivada

1. Primera derivada y puntos críticos
Se encuentra f′(x)f'(x), se iguala a cero y se resuelve: f′(x)=0f'(x) = 0 Los valores x=cx = c que salen son los puntos críticos.
2. Segunda derivada y evaluación
Se encuentra f′′(x)f''(x) y se evalúa cada punto crítico:
• Si f′′(c)<0f''(c) < 0, es cóncava hacia abajo (∩\cap) y hay un máximo en x=cx = c.
• Si f′′(c)>0f''(c) > 0, es cóncava hacia arriba (∪\cup) y hay un mínimo en x=cx = c.

Ejemplo

Obtener los puntos críticos de f(x)=2x3−4x2f(x) = 2x^3 - 4x^2 y determinar si son máximos o mínimos.

1. Primera derivada igualada a cero
f′(x)=6x2−8x6x2−8x=0(2x)(3x−4)=0\begin{aligned} f'(x) &= 6x^2 - 8x \\ 6x^2 - 8x &= 0 \\ (2x)(3x - 4) &= 0 \end{aligned}

Si ab=0  ⟹  a=0ab = 0 \implies a = 0 ó b=0b = 0:

2x=03x−4=0x1=03x=4x2=43\begin{aligned} 2x &= 0 &\qquad 3x - 4 &= 0 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{0} &\qquad 3x &= 4 \\ & &\qquad \mathbf{x_2} &= \mathbf{\frac{4}{3}} \end{aligned}
2. Segunda derivada y evaluación
f′′(x)=12x−8f''(x) = 12x - 8
Para x=0x = 0
f′′(0)=12(0)−8f′′(0)=−8\begin{aligned} f''(0) &= 12(0) - 8 \\ f''(0) &= -8 \end{aligned}

Es negativo, f′′(0)<0f''(0) < 0: cóncava hacia abajo (∩\cap).

En x=0x = 0 hay un máximo
Para x=43x = \frac{4}{3}
f′′(43)=12(43)−8=483−8=16−8=8\begin{aligned} f''\left(\frac{4}{3}\right) &= 12\left(\frac{4}{3}\right) - 8 \\ &= \frac{48}{3} - 8 = 16 - 8 = 8 \end{aligned}

Es positivo, f′′(43)>0f''\left(\frac{4}{3}\right) > 0: cóncava hacia arriba (∪\cup).

En x=43x = \frac{4}{3} hay un mínimo

Ejercicios

Obtener los puntos críticos y determinar si son máximos o mínimos con el criterio de la segunda derivada.

Bloque 1
f(x)=3x3−5x2f(x) = 3x^3 - 5x^2
f(x)=5x3−4x2f(x) = 5x^3 - 4x^2
f(x)=2x3−9x2f(x) = 2x^3 - 9x^2
Bloque 2
f(x)=−5x3+10x2f(x) = -5x^3 + 10x^2
f(x)=4x2−12x3f(x) = 4x^2 - 12x^3
f(x)=6x2−4x3f(x) = 6x^2 - 4x^3

Respuestas

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Bloque 1
Ejercicio 1 — f(x)=3x3−5x2f(x) = 3x^3 - 5x^2
f′(x)=9x2−10x9x2−10x=0x(9x−10)=0x1=0x2=109f′′(x)=18x−10f′′(0)=−10<0  ⇒  maˊximo en x=0f′′(109)=20−10=10>0  ⇒  mıˊnimo en x=109\begin{aligned} f'(x) &= 9x^2 - 10x \\ 9x^2 - 10x &= 0 \\ x(9x - 10) &= 0 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{0} \qquad \mathbf{x_2} = \mathbf{\frac{10}{9}} \\ f''(x) &= 18x - 10 \\ f''(0) &= -10 < 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{máximo en } x = 0} \\ f''\left(\tfrac{10}{9}\right) &= 20 - 10 = 10 > 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{mínimo en } x = \tfrac{10}{9}} \end{aligned}
Ejercicio 2 — f(x)=5x3−4x2f(x) = 5x^3 - 4x^2
f′(x)=15x2−8x15x2−8x=0x(15x−8)=0x1=0x2=815f′′(x)=30x−8f′′(0)=−8<0  ⇒  maˊximo en x=0f′′(815)=16−8=8>0  ⇒  mıˊnimo en x=815\begin{aligned} f'(x) &= 15x^2 - 8x \\ 15x^2 - 8x &= 0 \\ x(15x - 8) &= 0 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{0} \qquad \mathbf{x_2} = \mathbf{\frac{8}{15}} \\ f''(x) &= 30x - 8 \\ f''(0) &= -8 < 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{máximo en } x = 0} \\ f''\left(\tfrac{8}{15}\right) &= 16 - 8 = 8 > 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{mínimo en } x = \tfrac{8}{15}} \end{aligned}
Ejercicio 3 — f(x)=2x3−9x2f(x) = 2x^3 - 9x^2
f′(x)=6x2−18x6x2−18x=06x(x−3)=0x1=0x2=3f′′(x)=12x−18f′′(0)=−18<0  ⇒  maˊximo en x=0f′′(3)=36−18=18>0  ⇒  mıˊnimo en x=3\begin{aligned} f'(x) &= 6x^2 - 18x \\ 6x^2 - 18x &= 0 \\ 6x(x - 3) &= 0 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{0} \qquad \mathbf{x_2} = \mathbf{3} \\ f''(x) &= 12x - 18 \\ f''(0) &= -18 < 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{máximo en } x = 0} \\ f''(3) &= 36 - 18 = 18 > 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{mínimo en } x = 3} \end{aligned}
Bloque 2
Ejercicio 4 — f(x)=−5x3+10x2f(x) = -5x^3 + 10x^2
f′(x)=−15x2+20x−15x2+20x=05x(−3x+4)=0x1=0x2=43f′′(x)=−30x+20f′′(0)=20>0  ⇒  mıˊnimo en x=0f′′(43)=−40+20=−20<0  ⇒  maˊximo en x=43\begin{aligned} f'(x) &= -15x^2 + 20x \\ -15x^2 + 20x &= 0 \\ 5x(-3x + 4) &= 0 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{0} \qquad \mathbf{x_2} = \mathbf{\frac{4}{3}} \\ f''(x) &= -30x + 20 \\ f''(0) &= 20 > 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{mínimo en } x = 0} \\ f''\left(\tfrac{4}{3}\right) &= -40 + 20 = -20 < 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{máximo en } x = \tfrac{4}{3}} \end{aligned}
Ejercicio 5 — f(x)=4x2−12x3f(x) = 4x^2 - 12x^3
f′(x)=8x−36x28x−36x2=04x(2−9x)=0x1=0x2=29f′′(x)=8−72xf′′(0)=8>0  ⇒  mıˊnimo en x=0f′′(29)=8−16=−8<0  ⇒  maˊximo en x=29\begin{aligned} f'(x) &= 8x - 36x^2 \\ 8x - 36x^2 &= 0 \\ 4x(2 - 9x) &= 0 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{0} \qquad \mathbf{x_2} = \mathbf{\frac{2}{9}} \\ f''(x) &= 8 - 72x \\ f''(0) &= 8 > 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{mínimo en } x = 0} \\ f''\left(\tfrac{2}{9}\right) &= 8 - 16 = -8 < 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{máximo en } x = \tfrac{2}{9}} \end{aligned}
Ejercicio 6 — f(x)=6x2−4x3f(x) = 6x^2 - 4x^3
f′(x)=12x−12x212x−12x2=012x(1−x)=0x1=0x2=1f′′(x)=12−24xf′′(0)=12>0  ⇒  mıˊnimo en x=0f′′(1)=12−24=−12<0  ⇒  maˊximo en x=1\begin{aligned} f'(x) &= 12x - 12x^2 \\ 12x - 12x^2 &= 0 \\ 12x(1 - x) &= 0 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{0} \qquad \mathbf{x_2} = \mathbf{1} \\ f''(x) &= 12 - 24x \\ f''(0) &= 12 > 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{mínimo en } x = 0} \\ f''(1) &= 12 - 24 = -12 < 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{\text{máximo en } x = 1} \end{aligned}

Ejercicios extra 1

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Bloque A
f(x)=2x3−3x2f(x) = 2x^3 - 3x^2
f(x)=4x3−6x2f(x) = 4x^3 - 6x^2
f(x)=3x3−9x2f(x) = 3x^3 - 9x^2
f(x)=x3−6x2f(x) = x^3 - 6x^2
f(x)=5x3−3x2f(x) = 5x^3 - 3x^2
f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2
Bloque B
f(x)=−x3+3x2f(x) = -x^3 + 3x^2
f(x)=6x2−2x3f(x) = 6x^2 - 2x^3
f(x)=−3x3+9x2f(x) = -3x^3 + 9x^2
f(x)=12x2−4x3f(x) = 12x^2 - 4x^3
f(x)=−2x3+6x2f(x) = -2x^3 + 6x^2
f(x)=15x2−5x3f(x) = 15x^2 - 5x^3

Ejercicios extra 2

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Bloque C
f(x)=−4x3+88x2f(x) = -4x^3 + 88x^2
f(x)=18x2−6x3f(x) = 18x^2 - 6x^3
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