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Matemáticas 5 · Tema 11

Recta tangente

Apuntes

La ecuación de la recta tangente a una curva y=g(x)y = g(x) en un punto (x1, y1)(x_1,\,y_1) se obtiene con la ecuación punto-pendiente:

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

donde la pendiente mm es la derivada de la función evaluada en la abscisa del punto de tangencia:

g′(x1)=mg'(x_1) = m

Para graficar con detalle la parábola y su recta tangente se construyen tablas de valores con puntos simétricos respecto al vértice. En la forma ordinaria g(x)=(x−h)2+kg(x) = (x-h)^2 + k, el vértice está directamente en (h, k)(h,\,k).

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (−3, 2)(-3,\,2) de la función g(x)=(x+1)2−2g(x) = (x+1)^2-2.

Desarrollo algebraico
g′(x)=2(x+1)1(1)g′(x)=2x+2g′(−3)=2(−3)+2g′(−3)=−6+2g′(−3)=−4m=−4y−(2)=−4(x−(−3))y−2=−4(x+3)y−2=−4x−12y=−4x−12+2y=−4x−10\begin{aligned} g'(x) &= 2(x + 1)^1(1) \\ g'(x) &= 2x + 2 \\ g'(-3) &= 2(-3) + 2 \\ g'(-3) &= -6 + 2 \\ g'(-3) &= -4 \\ m &= -4 \\ y - (2) &= -4(x - (-3)) \\ y - 2 &= -4(x + 3) \\ y - 2 &= -4x - 12 \\ y &= -4x - 12 + 2 \\ \mathbf{y} &= \mathbf{-4x - 10} \end{aligned}
y=−4x−10y = -4x - 10
Parábola g(x)=(x+1)2−2g(x) = (x + 1)^2 - 2 — vértice (−1, −2)(-1,\,-2)
xxg(x)g(x)(x+1)2−2(x + 1)^2 - 2
−3-322(−3+1)2−2=2(-3 + 1)^2 - 2 = 2
−2-2−1-1(−2+1)2−2=−1(-2 + 1)^2 - 2 = -1
−1-1−2-2(−1+1)2−2=−2(-1 + 1)^2 - 2 = -2
00−1-1(0+1)2−2=−1(0 + 1)^2 - 2 = -1
1122(1+1)2−2=2(1 + 1)^2 - 2 = 2
Recta tangente y=−4x−10y = -4x - 10 — en (−3, 2)(-3,\,2)
xxyy−4x−10-4x - 10
−5-51010−4(−5)−10=10-4(-5) - 10 = 10
−4-466−4(−4)−10=6-4(-4) - 10 = 6
−3-322−4(−3)−10=2-4(-3) - 10 = 2
−2-2−2-2−4(−2)−10=−2-4(-2) - 10 = -2
−1-1−6-6−4(−1)−10=−6-4(-1) - 10 = -6
Representación gráfica
-6 -4 -2 2 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

Ejercicios

Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto indicado, y grafica la parábola junto con su tangente.

Bloque 1
f(x)=(x+2)2−5f(x) = (x+2)^2 - 5 en el punto (−3, −4)(-3,\,-4)
f(x)=(x−5)2+2f(x) = (x-5)^2 + 2 en el punto (6, 3)(6,\,3)
f(x)=(x−1)2+3f(x) = (x-1)^2 + 3 en el punto (2, 4)(2,\,4)
Bloque 2
f(x)=−(x−1)2+1f(x) = -(x-1)^2 + 1 en el punto (2, 0)(2,\,0)
f(x)=−(x−4)2+3f(x) = -(x-4)^2 + 3 en el punto (5, 2)(5,\,2)
f(x)=−(x+2)2+4f(x) = -(x + 2)^2 + 4 en el punto (−1, 3)(-1,\,3)

Respuestas

▼
Bloque 1
Ejercicio 1 — f(x)=(x+2)2−5f(x) = (x + 2)^2 - 5 en el punto (−3, −4)(-3,\,-4)
Desarrollo algebraico
f′(x)=2(x+2)1(1)f′(x)=2x+4f′(−3)=2(−3)+4f′(−3)=−6+4f′(−3)=−2m=−2y−(−4)=−2(x−(−3))y+4=−2(x+3)y+4=−2x−6y=−2x−6−4y=−2x−10\begin{aligned} f'(x) &= 2(x + 2)^1(1) \\ f'(x) &= 2x + 4 \\ f'(-3) &= 2(-3) + 4 \\ f'(-3) &= -6 + 4 \\ f'(-3) &= -2 \\ m &= -2 \\ y - (-4) &= -2(x - (-3)) \\ y + 4 &= -2(x + 3) \\ y + 4 &= -2x - 6 \\ y &= -2x - 6 - 4 \\ \mathbf{y} &= \mathbf{-2x - 10} \end{aligned}
y=−2x−10y = -2x - 10
Parábola f(x)=(x+2)2−5f(x) = (x + 2)^2 - 5 — vértice (−2, −5)(-2,\,-5)
xxf(x)f(x)(x+2)2−5(x + 2)^2 - 5
−4-4−1-1(−4+2)2−5=−1(-4 + 2)^2 - 5 = -1
−3-3−4-4(−3+2)2−5=−4(-3 + 2)^2 - 5 = -4
−2-2−5-5(−2+2)2−5=−5(-2 + 2)^2 - 5 = -5
−1-1−4-4(−1+2)2−5=−4(-1 + 2)^2 - 5 = -4
00−1-1(0+2)2−5=−1(0 + 2)^2 - 5 = -1
Recta tangente y=−2x−10y = -2x - 10 — en (−3, −4)(-3,\,-4)
xxyy−2x−10-2x - 10
−5-500−2(−5)−10=0-2(-5) - 10 = 0
−4-4−2-2−2(−4)−10=−2-2(-4) - 10 = -2
−3-3−4-4−2(−3)−10=−4-2(-3) - 10 = -4
−2-2−6-6−2(−2)−10=−6-2(-2) - 10 = -6
−1-1−8-8−2(−1)−10=−8-2(-1) - 10 = -8
Representación gráfica
-6 -4 -2 -8 -6 -4 -2
Ejercicio 2 — f(x)=(x−5)2+2f(x) = (x - 5)^2 + 2 en el punto (6, 3)(6,\,3)
Desarrollo algebraico
f′(x)=2(x−5)1(1)f′(x)=2x−10f′(6)=2(6)−10f′(6)=12−10f′(6)=2m=2y−(3)=2(x−(6))y−3=2(x−6)y−3=2x−12y=2x−12+3y=2x−9\begin{aligned} f'(x) &= 2(x - 5)^1(1) \\ f'(x) &= 2x - 10 \\ f'(6) &= 2(6) - 10 \\ f'(6) &= 12 - 10 \\ f'(6) &= 2 \\ m &= 2 \\ y - (3) &= 2(x - (6)) \\ y - 3 &= 2(x - 6) \\ y - 3 &= 2x - 12 \\ y &= 2x - 12 + 3 \\ \mathbf{y} &= \mathbf{2x - 9} \end{aligned}
y=2x−9y = 2x - 9
Parábola f(x)=(x−5)2+2f(x) = (x - 5)^2 + 2 — vértice (5, 2)(5,\,2)
xxf(x)f(x)(x−5)2+2(x - 5)^2 + 2
3366(3−5)2+2=6(3 - 5)^2 + 2 = 6
4433(4−5)2+2=3(4 - 5)^2 + 2 = 3
5522(5−5)2+2=2(5 - 5)^2 + 2 = 2
6633(6−5)2+2=3(6 - 5)^2 + 2 = 3
7766(7−5)2+2=6(7 - 5)^2 + 2 = 6
Recta tangente y=2x−9y = 2x - 9 — en (6, 3)(6,\,3)
xxyy2x−92x - 9
44−1-12(4)−9=−12(4) - 9 = -1
55112(5)−9=12(5) - 9 = 1
66332(6)−9=32(6) - 9 = 3
77552(7)−9=52(7) - 9 = 5
88772(8)−9=72(8) - 9 = 7
Representación gráfica
2 4 6 8 -2 2 4 6 8
Ejercicio 3 — f(x)=(x−1)2+3f(x) = (x - 1)^2 + 3 en el punto (2, 4)(2,\,4)
Desarrollo algebraico
f′(x)=2(x−1)1(1)f′(x)=2x−2f′(2)=2(2)−2f′(2)=4−2f′(2)=2m=2y−(4)=2(x−(2))y−4=2(x−2)y−4=2x−4y=2x−4+4y=2x\begin{aligned} f'(x) &= 2(x - 1)^1(1) \\ f'(x) &= 2x - 2 \\ f'(2) &= 2(2) - 2 \\ f'(2) &= 4 - 2 \\ f'(2) &= 2 \\ m &= 2 \\ y - (4) &= 2(x - (2)) \\ y - 4 &= 2(x - 2) \\ y - 4 &= 2x - 4 \\ y &= 2x - 4 + 4 \\ \mathbf{y} &= \mathbf{2x} \end{aligned}
y=2xy = 2x
Parábola f(x)=(x−1)2+3f(x) = (x - 1)^2 + 3 — vértice (1, 3)(1,\,3)
xxf(x)f(x)(x−1)2+3(x - 1)^2 + 3
−1-177(−1−1)2+3=7(-1 - 1)^2 + 3 = 7
0044(0−1)2+3=4(0 - 1)^2 + 3 = 4
1133(1−1)2+3=3(1 - 1)^2 + 3 = 3
2244(2−1)2+3=4(2 - 1)^2 + 3 = 4
3377(3−1)2+3=7(3 - 1)^2 + 3 = 7
Recta tangente y=2xy = 2x — en (2, 4)(2,\,4)
xxyy2x2x
00002(0)+0=02(0) + 0 = 0
11222(1)+0=22(1) + 0 = 2
22442(2)+0=42(2) + 0 = 4
33662(3)+0=62(3) + 0 = 6
44882(4)+0=82(4) + 0 = 8
Representación gráfica
-2 2 4 2 4 6 8
Bloque 2
Ejercicio 4 — f(x)=−(x−1)2+1f(x) = -(x - 1)^2 + 1 en el punto (2, 0)(2,\,0)
Desarrollo algebraico
f′(x)=−2(x−1)1(1)f′(x)=−2x+2f′(2)=−2(2)+2f′(2)=−4+2f′(2)=−2m=−2y−(0)=−2(x−(2))y+0=−2(x−2)y+0=−2x+4y=−2x+4+0y=−2x+4\begin{aligned} f'(x) &= -2(x - 1)^1(1) \\ f'(x) &= -2x + 2 \\ f'(2) &= -2(2) + 2 \\ f'(2) &= -4 + 2 \\ f'(2) &= -2 \\ m &= -2 \\ y - (0) &= -2(x - (2)) \\ y + 0 &= -2(x - 2) \\ y + 0 &= -2x + 4 \\ y &= -2x + 4 + 0 \\ \mathbf{y} &= \mathbf{-2x + 4} \end{aligned}
y=−2x+4y = -2x + 4
Parábola f(x)=−(x−1)2+1f(x) = -(x - 1)^2 + 1 — vértice (1, 1)(1,\,1)
xxf(x)f(x)−(x−1)2+1-(x - 1)^2 + 1
−1-1−3-3−(−1−1)2+1=−3-(-1 - 1)^2 + 1 = -3
0000−(0−1)2+1=0-(0 - 1)^2 + 1 = 0
1111−(1−1)2+1=1-(1 - 1)^2 + 1 = 1
2200−(2−1)2+1=0-(2 - 1)^2 + 1 = 0
33−3-3−(3−1)2+1=−3-(3 - 1)^2 + 1 = -3
Recta tangente y=−2x+4y = -2x + 4 — en (2, 0)(2,\,0)
xxyy−2x+4-2x + 4
0044−2(0)+4=4-2(0) + 4 = 4
1122−2(1)+4=2-2(1) + 4 = 2
2200−2(2)+4=0-2(2) + 4 = 0
33−2-2−2(3)+4=−2-2(3) + 4 = -2
44−4-4−2(4)+4=−4-2(4) + 4 = -4
Representación gráfica
-2 2 4 -4 -2 2 4
Ejercicio 5 — f(x)=−(x−4)2+3f(x) = -(x - 4)^2 + 3 en el punto (5, 2)(5,\,2)
Desarrollo algebraico
f′(x)=−2(x−4)1(1)f′(x)=−2x+8f′(5)=−2(5)+8f′(5)=−10+8f′(5)=−2m=−2y−(2)=−2(x−(5))y−2=−2(x−5)y−2=−2x+10y=−2x+10+2y=−2x+12\begin{aligned} f'(x) &= -2(x - 4)^1(1) \\ f'(x) &= -2x + 8 \\ f'(5) &= -2(5) + 8 \\ f'(5) &= -10 + 8 \\ f'(5) &= -2 \\ m &= -2 \\ y - (2) &= -2(x - (5)) \\ y - 2 &= -2(x - 5) \\ y - 2 &= -2x + 10 \\ y &= -2x + 10 + 2 \\ \mathbf{y} &= \mathbf{-2x + 12} \end{aligned}
y=−2x+12y = -2x + 12
Parábola f(x)=−(x−4)2+3f(x) = -(x - 4)^2 + 3 — vértice (4, 3)(4,\,3)
xxf(x)f(x)−(x−4)2+3-(x - 4)^2 + 3
22−1-1−(2−4)2+3=−1-(2 - 4)^2 + 3 = -1
3322−(3−4)2+3=2-(3 - 4)^2 + 3 = 2
4433−(4−4)2+3=3-(4 - 4)^2 + 3 = 3
5522−(5−4)2+3=2-(5 - 4)^2 + 3 = 2
66−1-1−(6−4)2+3=−1-(6 - 4)^2 + 3 = -1
Recta tangente y=−2x+12y = -2x + 12 — en (5, 2)(5,\,2)
xxyy−2x+12-2x + 12
3366−2(3)+12=6-2(3) + 12 = 6
4444−2(4)+12=4-2(4) + 12 = 4
5522−2(5)+12=2-2(5) + 12 = 2
6600−2(6)+12=0-2(6) + 12 = 0
77−2-2−2(7)+12=−2-2(7) + 12 = -2
Representación gráfica
2 4 6 8 -2 2 4 6
Ejercicio 6 — f(x)=−(x+2)2+4f(x) = -(x + 2)^2 + 4 en el punto (−1, 3)(-1,\,3)
Desarrollo algebraico
f′(x)=−2(x+2)1(1)f′(x)=−2x−4f′(−1)=−2(−1)−4f′(−1)=2−4f′(−1)=−2m=−2y−(3)=−2(x−(−1))y−3=−2(x+1)y−3=−2x−2y=−2x−2+3y=−2x+1\begin{aligned} f'(x) &= -2(x + 2)^1(1) \\ f'(x) &= -2x - 4 \\ f'(-1) &= -2(-1) - 4 \\ f'(-1) &= 2 - 4 \\ f'(-1) &= -2 \\ m &= -2 \\ y - (3) &= -2(x - (-1)) \\ y - 3 &= -2(x + 1) \\ y - 3 &= -2x - 2 \\ y &= -2x - 2 + 3 \\ \mathbf{y} &= \mathbf{-2x + 1} \end{aligned}
y=−2x+1y = -2x + 1
Parábola f(x)=−(x+2)2+4f(x) = -(x + 2)^2 + 4 — vértice (−2, 4)(-2,\,4)
xxf(x)f(x)−(x+2)2+4-(x + 2)^2 + 4
−4-400−(−4+2)2+4=0-(-4 + 2)^2 + 4 = 0
−3-333−(−3+2)2+4=3-(-3 + 2)^2 + 4 = 3
−2-244−(−2+2)2+4=4-(-2 + 2)^2 + 4 = 4
−1-133−(−1+2)2+4=3-(-1 + 2)^2 + 4 = 3
0000−(0+2)2+4=0-(0 + 2)^2 + 4 = 0
Recta tangente y=−2x+1y = -2x + 1 — en (−1, 3)(-1,\,3)
xxyy−2x+1-2x + 1
−3-377−2(−3)+1=7-2(-3) + 1 = 7
−2-255−2(−2)+1=5-2(-2) + 1 = 5
−1-133−2(−1)+1=3-2(-1) + 1 = 3
0011−2(0)+1=1-2(0) + 1 = 1
11−1-1−2(1)+1=−1-2(1) + 1 = -1
Representación gráfica
-4 -2 2 4 6

Ejercicios extra 1

▼
Bloque A
f(x)=(x+3)2−4f(x) = (x+3)^2 - 4 en (−2, −3)(-2,\,-3)
f(x)=(x−3)2+1f(x) = (x-3)^2 + 1 en (4, 2)(4,\,2)
f(x)=(x+4)2−2f(x) = (x+4)^2 - 2 en (−3, −1)(-3,\,-1)
Bloque B
f(x)=−(x−2)2+5f(x) = -(x-2)^2 + 5 en (1, 4)(1,\,4)
f(x)=−(x+1)2+6f(x) = -(x+1)^2 + 6 en (0, 5)(0,\,5)
f(x)=−(x−5)2+3f(x) = -(x-5)^2 + 3 en (4, 2)(4,\,2)

Ejercicios extra 2

▼
Bloque C
f(x)=(x−2)2−1f(x) = (x-2)^2 - 1 en (3, 0)(3,\,0)
f(x)=(x+1)2+2f(x) = (x+1)^2 + 2 en (−2, 3)(-2,\,3)
f(x)=(x−4)2−3f(x) = (x-4)^2 - 3 en (5, −2)(5,\,-2)
Bloque D
f(x)=−(x+3)2+4f(x) = -(x+3)^2 + 4 en (−4, 3)(-4,\,3)
f(x)=−(x−3)2+2f(x) = -(x-3)^2 + 2 en (2, 1)(2,\,1)
f(x)=−(x+2)2+1f(x) = -(x+2)^2 + 1 en (−1, 0)(-1,\,0)
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