Para encontrar el área máxima de una figura sujeta a una restricción de perímetro se plantea
la función objetivo (el área) y la ecuación de restricción
(el perímetro). Se despeja una variable de la restricción y se sustituye en la función
objetivo, para quedarse con una función de una sola variable. Después se aplican los
criterios de la primera y la segunda derivada para hallar el punto crítico y el valor máximo.
Calcular el área máxima del rectángulo, con perímetro = 20 = 20 = 20
y x + 3
El área es base por altura:
A ( x , y ) = y ( x + 3 ) A(x,y) = y(x+3) A ( x , y ) = y ( x + 3 ) Como es de dos variables y conocemos el perímetro, planteamos la ecuación que las relaciona y despejamos y y y
2 y + 2 ( x + 3 ) = 20 2 y + 2 x + 6 = 20 2 y = 14 − 2 x y = 14 − 2 x 2 y = 7 − x \begin{aligned}
2y + 2(x+3) &= 20 \\
2y + 2x + 6 &= 20 \\
2y &= 14 - 2x \\
y &= \frac{14-2x}{2} \\
\mathbf{y} &= \mathbf{7 - x}
\end{aligned} 2 y + 2 ( x + 3 ) 2 y + 2 x + 6 2 y y y = 20 = 20 = 14 − 2 x = 2 14 − 2 x = 7 − x Sustituimos y y y x x x
A ( x ) = ( 7 − x ) ( x + 3 ) A ( x ) = 7 x + 21 − x 2 − 3 x A ( x ) = − x 2 + 4 x + 21 \begin{aligned}
A(x) &= (7-x)(x+3) \\
A(x) &= 7x + 21 - x^2 - 3x \\
\mathbf{A(x)} &= \mathbf{-x^2 + 4x + 21}
\end{aligned} A ( x ) A ( x ) A ( x ) = ( 7 − x ) ( x + 3 ) = 7 x + 21 − x 2 − 3 x = − x 2 + 4x + 21 Primera derivada igualada a cero:
A ′ ( x ) = − 2 x + 4 − 2 x + 4 = 0 x = − 4 − 2 = 2 punto cr ı ˊ tico \begin{aligned}
A'(x) &= -2x + 4 \\
-2x + 4 &= 0 \\
x &= \frac{-4}{-2} = \mathbf{2} \quad \text{punto crítico}
\end{aligned} A ′ ( x ) − 2 x + 4 x = − 2 x + 4 = 0 = − 2 − 4 = 2 punto cr ı ˊ tico La segunda derivada es A ′ ′ ( x ) = − 2 A''(x) = -2 A ′′ ( x ) = − 2 x x x ∩ \cap ∩ x = 2 x = 2 x = 2
A ( 2 ) = − ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) + 21 = − 4 + 8 + 21 A ( 2 ) = 25 \begin{aligned}
A(2) &= -(2)^2 + 4(2) + 21 \\
&= -4 + 8 + 21 \\
\mathbf{A(2)} &= \mathbf{25}
\end{aligned} A ( 2 ) A ( 2 ) = − ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) + 21 = − 4 + 8 + 21 = 25
Calcular el área máxima de cada rectángulo con el perímetro indicado.
Bloque 1
Ejercicio 1 — altura
x + 4 x+4 x + 4 , base
y y y ,
P = 24 P = 24 P = 24 A ( x , y ) = y ( x + 4 ) 2 y + 2 ( x + 4 ) = 24 2 y = 16 − 2 x y = 8 − x A ( x ) = ( 8 − x ) ( x + 4 ) = − x 2 + 4 x + 32 A ′ ( x ) = − 2 x + 4 = 0 ⇒ x = 2 A ′ ′ ( x ) = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo A ( 2 ) = − 4 + 8 + 32 = 36 \begin{aligned}
A(x,y) &= y(x+4) \\
2y + 2(x+4) &= 24 \\
2y &= 16 - 2x \\
\mathbf{y} &= \mathbf{8 - x} \\
A(x) &= (8-x)(x+4) = -x^2 + 4x + 32 \\
A'(x) &= -2x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 2} \\
A''(x) &= -2 < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo} \\
A(2) &= -4 + 8 + 32 = \mathbf{36}
\end{aligned} A ( x , y ) 2 y + 2 ( x + 4 ) 2 y y A ( x ) A ′ ( x ) A ′′ ( x ) A ( 2 ) = y ( x + 4 ) = 24 = 16 − 2 x = 8 − x = ( 8 − x ) ( x + 4 ) = − x 2 + 4 x + 32 = − 2 x + 4 = 0 ⇒ x = 2 = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo = − 4 + 8 + 32 = 36
Ejercicio 2 — altura
x + 1 x+1 x + 1 , base
y y y ,
P = 12 P = 12 P = 12 A ( x , y ) = y ( x + 1 ) 2 y + 2 ( x + 1 ) = 12 2 y = 10 − 2 x y = 5 − x A ( x ) = ( 5 − x ) ( x + 1 ) = − x 2 + 4 x + 5 A ′ ( x ) = − 2 x + 4 = 0 ⇒ x = 2 A ′ ′ ( x ) = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo A ( 2 ) = − 4 + 8 + 5 = 9 \begin{aligned}
A(x,y) &= y(x+1) \\
2y + 2(x+1) &= 12 \\
2y &= 10 - 2x \\
\mathbf{y} &= \mathbf{5 - x} \\
A(x) &= (5-x)(x+1) = -x^2 + 4x + 5 \\
A'(x) &= -2x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 2} \\
A''(x) &= -2 < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo} \\
A(2) &= -4 + 8 + 5 = \mathbf{9}
\end{aligned} A ( x , y ) 2 y + 2 ( x + 1 ) 2 y y A ( x ) A ′ ( x ) A ′′ ( x ) A ( 2 ) = y ( x + 1 ) = 12 = 10 − 2 x = 5 − x = ( 5 − x ) ( x + 1 ) = − x 2 + 4 x + 5 = − 2 x + 4 = 0 ⇒ x = 2 = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo = − 4 + 8 + 5 = 9
Ejercicio 3 — altura
x + 5 x+5 x + 5 , base
y y y ,
P = 32 P = 32 P = 32 A ( x , y ) = y ( x + 5 ) 2 y + 2 ( x + 5 ) = 32 2 y = 22 − 2 x y = 11 − x A ( x ) = ( 11 − x ) ( x + 5 ) = − x 2 + 6 x + 55 A ′ ( x ) = − 2 x + 6 = 0 ⇒ x = 3 A ′ ′ ( x ) = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo A ( 3 ) = − 9 + 18 + 55 = 64 \begin{aligned}
A(x,y) &= y(x+5) \\
2y + 2(x+5) &= 32 \\
2y &= 22 - 2x \\
\mathbf{y} &= \mathbf{11 - x} \\
A(x) &= (11-x)(x+5) = -x^2 + 6x + 55 \\
A'(x) &= -2x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 3} \\
A''(x) &= -2 < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo} \\
A(3) &= -9 + 18 + 55 = \mathbf{64}
\end{aligned} A ( x , y ) 2 y + 2 ( x + 5 ) 2 y y A ( x ) A ′ ( x ) A ′′ ( x ) A ( 3 ) = y ( x + 5 ) = 32 = 22 − 2 x = 11 − x = ( 11 − x ) ( x + 5 ) = − x 2 + 6 x + 55 = − 2 x + 6 = 0 ⇒ x = 3 = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo = − 9 + 18 + 55 = 64
Bloque 2
Ejercicio 4 — altura
x + 3 x+3 x + 3 , base
y y y ,
P = 16 P = 16 P = 16 A ( x , y ) = y ( x + 3 ) 2 y + 2 ( x + 3 ) = 16 2 y = 10 − 2 x y = 5 − x A ( x ) = ( 5 − x ) ( x + 3 ) = − x 2 + 2 x + 15 A ′ ( x ) = − 2 x + 2 = 0 ⇒ x = 1 A ′ ′ ( x ) = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo A ( 1 ) = − 1 + 2 + 15 = 16 \begin{aligned}
A(x,y) &= y(x+3) \\
2y + 2(x+3) &= 16 \\
2y &= 10 - 2x \\
\mathbf{y} &= \mathbf{5 - x} \\
A(x) &= (5-x)(x+3) = -x^2 + 2x + 15 \\
A'(x) &= -2x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 1} \\
A''(x) &= -2 < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo} \\
A(1) &= -1 + 2 + 15 = \mathbf{16}
\end{aligned} A ( x , y ) 2 y + 2 ( x + 3 ) 2 y y A ( x ) A ′ ( x ) A ′′ ( x ) A ( 1 ) = y ( x + 3 ) = 16 = 10 − 2 x = 5 − x = ( 5 − x ) ( x + 3 ) = − x 2 + 2 x + 15 = − 2 x + 2 = 0 ⇒ x = 1 = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo = − 1 + 2 + 15 = 16
Ejercicio 5 — altura
x + 2 x+2 x + 2 , base
y y y ,
P = 28 P = 28 P = 28 A ( x , y ) = y ( x + 2 ) 2 y + 2 ( x + 2 ) = 28 2 y = 24 − 2 x y = 12 − x A ( x ) = ( 12 − x ) ( x + 2 ) = − x 2 + 10 x + 24 A ′ ( x ) = − 2 x + 10 = 0 ⇒ x = 5 A ′ ′ ( x ) = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo A ( 5 ) = − 25 + 50 + 24 = 49 \begin{aligned}
A(x,y) &= y(x+2) \\
2y + 2(x+2) &= 28 \\
2y &= 24 - 2x \\
\mathbf{y} &= \mathbf{12 - x} \\
A(x) &= (12-x)(x+2) = -x^2 + 10x + 24 \\
A'(x) &= -2x + 10 = 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 5} \\
A''(x) &= -2 < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo} \\
A(5) &= -25 + 50 + 24 = \mathbf{49}
\end{aligned} A ( x , y ) 2 y + 2 ( x + 2 ) 2 y y A ( x ) A ′ ( x ) A ′′ ( x ) A ( 5 ) = y ( x + 2 ) = 28 = 24 − 2 x = 12 − x = ( 12 − x ) ( x + 2 ) = − x 2 + 10 x + 24 = − 2 x + 10 = 0 ⇒ x = 5 = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo = − 25 + 50 + 24 = 49
Ejercicio 6 — altura
x + 1 x+1 x + 1 , base
y y y ,
P = 20 P = 20 P = 20 A ( x , y ) = y ( x + 1 ) 2 y + 2 ( x + 1 ) = 20 2 y = 18 − 2 x y = 9 − x A ( x ) = ( 9 − x ) ( x + 1 ) = − x 2 + 8 x + 9 A ′ ( x ) = − 2 x + 8 = 0 ⇒ x = 4 A ′ ′ ( x ) = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo A ( 4 ) = − 16 + 32 + 9 = 25 \begin{aligned}
A(x,y) &= y(x+1) \\
2y + 2(x+1) &= 20 \\
2y &= 18 - 2x \\
\mathbf{y} &= \mathbf{9 - x} \\
A(x) &= (9-x)(x+1) = -x^2 + 8x + 9 \\
A'(x) &= -2x + 8 = 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 4} \\
A''(x) &= -2 < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo} \\
A(4) &= -16 + 32 + 9 = \mathbf{25}
\end{aligned} A ( x , y ) 2 y + 2 ( x + 1 ) 2 y y A ( x ) A ′ ( x ) A ′′ ( x ) A ( 4 ) = y ( x + 1 ) = 20 = 18 − 2 x = 9 − x = ( 9 − x ) ( x + 1 ) = − x 2 + 8 x + 9 = − 2 x + 8 = 0 ⇒ x = 4 = − 2 < 0 ⇒ m a ˊ ximo = − 16 + 32 + 9 = 25
Todos son rectángulos de base y y y
Bloque A
altura
x + 5 x+5 x + 5 ,
P = 30 P = 30 P = 30 altura
x + 2 x+2 x + 2 ,
P = 16 P = 16 P = 16 altura
x + 4 x+4 x + 4 ,
P = 20 P = 20 P = 20
Bloque B
altura
x + 1 x+1 x + 1 ,
P = 10 P = 10 P = 10 altura
x + 3 x+3 x + 3 ,
P = 24 P = 24 P = 24 altura
x + 6 x+6 x + 6 ,
P = 28 P = 28 P = 28
Todos son rectángulos de base y y y
Bloque C
altura
x + 2 x+2 x + 2 ,
P = 20 P = 20 P = 20 altura
x + 4 x+4 x + 4 ,
P = 12 P = 12 P = 12 altura
x + 1 x+1 x + 1 ,
P = 18 P = 18 P = 18
Bloque D
altura
x + 5 x+5 x + 5 ,
P = 24 P = 24 P = 24 altura
x + 3 x+3 x + 3 ,
P = 14 P = 14 P = 14 altura
x + 7 x+7 x + 7 ,
P = 36 P = 36 P = 36