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Matemáticas 3 · Tema 20

Regreso de la elipse

Apuntes

(x−h)2a2+(y−k)2b2=1\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1(x−h)2b2+(y−k)2a2=1\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1

De la ecuación general se llega a la canónica completando los trinomios cuadrados perfectos. Ojo: aquí los cuadrados traen coeficiente, así que primero se factoriza y lo que se suma del otro lado es el coeficiente por la mitad al cuadrado.

a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2}

El centro es (h, k)(h,\, k) y sale de los paréntesis con el signo cambiado: (x−1)2(x-1)^2 da h=1h = 1, pero (x+2)2(x+2)^2 da h=−2h = -2. Ya en la canónica, a2a^2 es siempre el denominador mayor: si quedó debajo de xx la elipse es horizontal, si quedó debajo de yy es vertical. De aa y bb sale cc con el mismo triángulo rectángulo de siempre, y con el centro se ubican los vértices (a aa del centro) y los focos (a cc).

abcahipotenusaC(h, k)vérticefoco

Ejemplo

16x2+25y2−32x−100y−284=016x^2 + 25y^2 - 32x - 100y - 284 = 0

Agrupamos y factorizamos el coeficiente

16x2−32x+25y2−100y=28416(x2−2x)+25(y2−4y)=284\begin{aligned} 16x^2 - 32x + 25y^2 - 100y &= 284 \\ 16(x^2 {\color{#FF00AA}- 2}x) + 25(y^2 {\color{#FF00AA}- 4}y) &= 284 \end{aligned}
 −2\color{#FF00AA}{-2}
mitad−1-1
cuadrado11
 −4\color{#FF00AA}{-4}
mitad−2-2
cuadrado44

Completamos los trinomios

16(x2−2x+1)+25(y2−4y+4)=284+16(1)+25(4)16(x−1)2+25(y−2)2=284+16+10016(x−1)2+25(y−2)2=400\begin{aligned} 16(x^2 - 2x + 1) + 25(y^2 - 4y + 4) &= 284 + 16(1) + 25(4) \\ 16(x - 1)^2 + 25(y - 2)^2 &= 284 + 16 + 100 \\ 16(x - 1)^2 + 25(y - 2)^2 &= 400 \end{aligned}

Dividimos para dejar la forma canónica

16(x−1)2400+25(y−2)2400=1(x−1)225+(y−2)216=1\begin{aligned} \dfrac{16(x - 1)^2}{400} + \dfrac{25(y - 2)^2}{400} &= 1 \\ \dfrac{(x - 1)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} + \dfrac{(y - 2)^2}{16} &= 1 \end{aligned}
a2=25a^2 = 25 quedó debajo de xx, así que la elipse es horizontal

El centro sale de los paréntesis, con el signo cambiado

C=(h, k)=(1,2)C = (h,\, k) = (1, 2)

Sacamos aa y bb; del triángulo sale cc

a=25=5b=16=4c=25−16=9=3\begin{aligned} a &= \sqrt{25} = 5 \\ b &= \sqrt{16} = 4 \\ c &= \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned}
a55
b44
c33

Con el centro, aa y cc salen vértices y focos

centro(1,2)(1, 2)
vértices(−4,2) (6,2)(-4, 2)\ (6, 2)
focos(−2,2) (4,2)(-2, 2)\ (4, 2)
bca

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−4,2) (6,2)(-4, 2)\ (6, 2)
16(−4)2+25(2)2−32(−4)−100(2)−284=0256+100+128−200−284=0484−484=00=0\begin{aligned} 16(-4)^2 + 25(2)^2 - 32(-4) - 100(2) - 284 &= 0 \\ 256 + 100 + 128 - 200 - 284 &= 0 \\ 484 - 484 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
16(6)2+25(2)2−32(6)−100(2)−284=0576+100−192−200−284=0676−676=00=0\begin{aligned} 16(6)^2 + 25(2)^2 - 32(6) - 100(2) - 284 &= 0 \\ 576 + 100 - 192 - 200 - 284 &= 0 \\ 676 - 676 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}

Ejercicios

Ejercicio 1
9x2+25y2−225=09x^2 + 25y^2 - 225 = 0
Ejercicio 2
25x2+16y2−100x+32y−284=025x^2 + 16y^2 - 100x + 32y - 284 = 0
Ejercicio 3
25x2+9y2+100x−54y−44=025x^2 + 9y^2 + 100x - 54y - 44 = 0
Ejercicio 4
9x2+25y2−72x+100y+19=09x^2 + 25y^2 - 72x + 100y + 19 = 0

Respuestas

▼
Ejercicio 1
9x2+25y2−225=09x^2 + 25y^2 - 225 = 0

Agrupamos y factorizamos el coeficiente

9x2+25y2=225\begin{aligned} 9x^2 + 25y^2 &= 225 \end{aligned}

Dividimos para dejar la forma canónica

9x2225+25y2225=1x225+y29=1\begin{aligned} \dfrac{9x^2}{225} + \dfrac{25y^2}{225} &= 1 \\ \dfrac{x^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} + \dfrac{y^2}{9} &= 1 \end{aligned}
a2=25a^2 = 25 quedó debajo de xx, así que la elipse es horizontal

El centro sale de los paréntesis, con el signo cambiado

C=(h, k)=(0,0)C = (h,\, k) = (0, 0)

Sacamos aa y bb; del triángulo sale cc

a=25=5b=9=3c=25−9=16=4\begin{aligned} a &= \sqrt{25} = 5 \\ b &= \sqrt{9} = 3 \\ c &= \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \end{aligned}
a55
b33
c44

Con el centro, aa y cc salen vértices y focos

centro(0,0)(0, 0)
vértices(−5,0) (5,0)(-5, 0)\ (5, 0)
focos(−4,0) (4,0)(-4, 0)\ (4, 0)
bca

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−5,0) (5,0)(-5, 0)\ (5, 0)
9(−5)2+25(0)2−225=0225+0−225=00=0\begin{aligned} 9(-5)^2 + 25(0)^2 - 225 &= 0 \\ 225 + 0 - 225 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
9(5)2+25(0)2−225=0225+0−225=00=0\begin{aligned} 9(5)^2 + 25(0)^2 - 225 &= 0 \\ 225 + 0 - 225 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 2
25x2+16y2−100x+32y−284=025x^2 + 16y^2 - 100x + 32y - 284 = 0

Agrupamos y factorizamos el coeficiente

25x2−100x+16y2+32y=28425(x2−4x)+16(y2+2y)=284\begin{aligned} 25x^2 - 100x + 16y^2 + 32y &= 284 \\ 25(x^2 {\color{#FF00AA}- 4}x) + 16(y^2 {\color{#FF00AA}+ 2}y) &= 284 \end{aligned}
 −4\color{#FF00AA}{-4}
mitad−2-2
cuadrado44
 2\color{#FF00AA}{2}
mitad11
cuadrado11

Completamos los trinomios

25(x2−4x+4)+16(y2+2y+1)=284+25(4)+16(1)25(x−2)2+16(y+1)2=284+100+1625(x−2)2+16(y+1)2=400\begin{aligned} 25(x^2 - 4x + 4) + 16(y^2 + 2y + 1) &= 284 + 25(4) + 16(1) \\ 25(x - 2)^2 + 16(y + 1)^2 &= 284 + 100 + 16 \\ 25(x - 2)^2 + 16(y + 1)^2 &= 400 \end{aligned}

Dividimos para dejar la forma canónica

25(x−2)2400+16(y+1)2400=1(x−2)216+(y+1)225=1\begin{aligned} \dfrac{25(x - 2)^2}{400} + \dfrac{16(y + 1)^2}{400} &= 1 \\ \dfrac{(x - 2)^2}{16} + \dfrac{(y + 1)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} &= 1 \end{aligned}
a2=25a^2 = 25 quedó debajo de yy, así que la elipse es vertical

El centro sale de los paréntesis, con el signo cambiado

C=(h, k)=(2,−1)C = (h,\, k) = (2, -1)

Sacamos aa y bb; del triángulo sale cc

a=25=5b=16=4c=25−16=9=3\begin{aligned} a &= \sqrt{25} = 5 \\ b &= \sqrt{16} = 4 \\ c &= \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned}
a55
b44
c33

Con el centro, aa y cc salen vértices y focos

centro(2,−1)(2, -1)
vértices(2,4) (2,−6)(2, 4)\ (2, -6)
focos(2,2) (2,−4)(2, 2)\ (2, -4)
bca

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(2,4) (2,−6)(2, 4)\ (2, -6)
25(2)2+16(4)2−100(2)+32(4)−284=0100+256−200+128−284=0484−484=00=0\begin{aligned} 25(2)^2 + 16(4)^2 - 100(2) + 32(4) - 284 &= 0 \\ 100 + 256 - 200 + 128 - 284 &= 0 \\ 484 - 484 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
25(2)2+16(−6)2−100(2)+32(−6)−284=0100+576−200−192−284=0676−676=00=0\begin{aligned} 25(2)^2 + 16(-6)^2 - 100(2) + 32(-6) - 284 &= 0 \\ 100 + 576 - 200 - 192 - 284 &= 0 \\ 676 - 676 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 3
25x2+9y2+100x−54y−44=025x^2 + 9y^2 + 100x - 54y - 44 = 0

Agrupamos y factorizamos el coeficiente

25x2+100x+9y2−54y=4425(x2+4x)+9(y2−6y)=44\begin{aligned} 25x^2 + 100x + 9y^2 - 54y &= 44 \\ 25(x^2 {\color{#FF00AA}+ 4}x) + 9(y^2 {\color{#FF00AA}- 6}y) &= 44 \end{aligned}
 4\color{#FF00AA}{4}
mitad22
cuadrado44
 −6\color{#FF00AA}{-6}
mitad−3-3
cuadrado99

Completamos los trinomios

25(x2+4x+4)+9(y2−6y+9)=44+25(4)+9(9)25(x+2)2+9(y−3)2=44+100+8125(x+2)2+9(y−3)2=225\begin{aligned} 25(x^2 + 4x + 4) + 9(y^2 - 6y + 9) &= 44 + 25(4) + 9(9) \\ 25(x + 2)^2 + 9(y - 3)^2 &= 44 + 100 + 81 \\ 25(x + 2)^2 + 9(y - 3)^2 &= 225 \end{aligned}

Dividimos para dejar la forma canónica

25(x+2)2225+9(y−3)2225=1(x+2)29+(y−3)225=1\begin{aligned} \dfrac{25(x + 2)^2}{225} + \dfrac{9(y - 3)^2}{225} &= 1 \\ \dfrac{(x + 2)^2}{9} + \dfrac{(y - 3)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} &= 1 \end{aligned}
a2=25a^2 = 25 quedó debajo de yy, así que la elipse es vertical

El centro sale de los paréntesis, con el signo cambiado

C=(h, k)=(−2,3)C = (h,\, k) = (-2, 3)

Sacamos aa y bb; del triángulo sale cc

a=25=5b=9=3c=25−9=16=4\begin{aligned} a &= \sqrt{25} = 5 \\ b &= \sqrt{9} = 3 \\ c &= \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \end{aligned}
a55
b33
c44

Con el centro, aa y cc salen vértices y focos

centro(−2,3)(-2, 3)
vértices(−2,8) (−2,−2)(-2, 8)\ (-2, -2)
focos(−2,7) (−2,−1)(-2, 7)\ (-2, -1)
bca

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−2,8) (−2,−2)(-2, 8)\ (-2, -2)
25(−2)2+9(8)2+100(−2)−54(8)−44=0100+576−200−432−44=0676−676=00=0\begin{aligned} 25(-2)^2 + 9(8)^2 + 100(-2) - 54(8) - 44 &= 0 \\ 100 + 576 - 200 - 432 - 44 &= 0 \\ 676 - 676 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
25(−2)2+9(−2)2+100(−2)−54(−2)−44=0100+36−200+108−44=0244−244=00=0\begin{aligned} 25(-2)^2 + 9(-2)^2 + 100(-2) - 54(-2) - 44 &= 0 \\ 100 + 36 - 200 + 108 - 44 &= 0 \\ 244 - 244 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 4
9x2+25y2−72x+100y+19=09x^2 + 25y^2 - 72x + 100y + 19 = 0

Agrupamos y factorizamos el coeficiente

9x2−72x+25y2+100y=−199(x2−8x)+25(y2+4y)=−19\begin{aligned} 9x^2 - 72x + 25y^2 + 100y &= -19 \\ 9(x^2 {\color{#FF00AA}- 8}x) + 25(y^2 {\color{#FF00AA}+ 4}y) &= -19 \end{aligned}
 −8\color{#FF00AA}{-8}
mitad−4-4
cuadrado1616
 4\color{#FF00AA}{4}
mitad22
cuadrado44

Completamos los trinomios

9(x2−8x+16)+25(y2+4y+4)=−19+9(16)+25(4)9(x−4)2+25(y+2)2=−19+144+1009(x−4)2+25(y+2)2=225\begin{aligned} 9(x^2 - 8x + 16) + 25(y^2 + 4y + 4) &= -19 + 9(16) + 25(4) \\ 9(x - 4)^2 + 25(y + 2)^2 &= -19 + 144 + 100 \\ 9(x - 4)^2 + 25(y + 2)^2 &= 225 \end{aligned}

Dividimos para dejar la forma canónica

9(x−4)2225+25(y+2)2225=1(x−4)225+(y+2)29=1\begin{aligned} \dfrac{9(x - 4)^2}{225} + \dfrac{25(y + 2)^2}{225} &= 1 \\ \dfrac{(x - 4)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} + \dfrac{(y + 2)^2}{9} &= 1 \end{aligned}
a2=25a^2 = 25 quedó debajo de xx, así que la elipse es horizontal

El centro sale de los paréntesis, con el signo cambiado

C=(h, k)=(4,−2)C = (h,\, k) = (4, -2)

Sacamos aa y bb; del triángulo sale cc

a=25=5b=9=3c=25−9=16=4\begin{aligned} a &= \sqrt{25} = 5 \\ b &= \sqrt{9} = 3 \\ c &= \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \end{aligned}
a55
b33
c44

Con el centro, aa y cc salen vértices y focos

centro(4,−2)(4, -2)
vértices(−1,−2) (9,−2)(-1, -2)\ (9, -2)
focos(0,−2) (8,−2)(0, -2)\ (8, -2)
bca

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−1,−2) (9,−2)(-1, -2)\ (9, -2)
9(−1)2+25(−2)2−72(−1)+100(−2)+19=09+100+72−200+19=0200−200=00=0\begin{aligned} 9(-1)^2 + 25(-2)^2 - 72(-1) + 100(-2) + 19 &= 0 \\ 9 + 100 + 72 - 200 + 19 &= 0 \\ 200 - 200 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
9(9)2+25(−2)2−72(9)+100(−2)+19=0729+100−648−200+19=0848−848=00=0\begin{aligned} 9(9)^2 + 25(-2)^2 - 72(9) + 100(-2) + 19 &= 0 \\ 729 + 100 - 648 - 200 + 19 &= 0 \\ 848 - 848 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}

Ejercicios extra

▼
Bloque 1
16x2+25y2−400=016x^2 + 25y^2 - 400 = 0
25x2+9y2−150x−18y+9=025x^2 + 9y^2 - 150x - 18y + 9 = 0
16x2+25y2+64x−336=016x^2 + 25y^2 + 64x - 336 = 0
9x2+25y2−18x+150y+9=09x^2 + 25y^2 - 18x + 150y + 9 = 0
25x2+16y2−128y−144=025x^2 + 16y^2 - 128y - 144 = 0
Bloque 2
25x2+9y2+50x−36y−164=025x^2 + 9y^2 + 50x - 36y - 164 = 0
16x2+25y2−128x−144=016x^2 + 25y^2 - 128x - 144 = 0
25x2+16y2−100x−96y−156=025x^2 + 16y^2 - 100x - 96y - 156 = 0
9x2+25y2+54x+50y−119=09x^2 + 25y^2 + 54x + 50y - 119 = 0
25x2+9y2+36y−189=025x^2 + 9y^2 + 36y - 189 = 0
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