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Matemáticas 3 · Tema 19

Ecuación general de la elipse

Apuntes

Horizontal
(x−h)2a2+(y−k)2b2=1\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Vertical
(x−h)2b2+(y−k)2a2=1\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1

Es la misma fórmula: lo único que cambia es debajo de cuál variable va a2a^2. Como aa es siempre el semieje mayor, se pone bajo el término de la variable en la que la elipse se estira: si los vértices se mueven en xx es horizontal; si se mueven en yy, vertical.

a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2b=a2−c2b = \sqrt{a^2 - c^2}

El centro de la elipse es (h, k)(h,\, k): es el que se sustituye en la fórmula. a va del centro a un vértice y c del centro a un foco: los dos se cuentan directo en la gráfica. b no se puede contar, porque el extremo del eje menor todavía no existe — ése sale del triángulo rectángulo que forman los tres: bb y cc son los catetos y la hipotenusa es aa, porque del extremo del eje menor a cualquier foco hay exactamente aa. Ojo con esto: en el triángulo de siempre la hipotenusa se llama cc, pero aquí la hipotenusa es aa y cc es un cateto. Por eso la relación queda a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 y no al revés. Los focos siempre caen sobre el eje mayor.

abcahipotenusaC(h, k)vérticefoco

Ejemplo

centro(1,2)(1, 2)
vértices(−4,2) (6,2)(-4, 2)\ (6, 2)
focos(−2,2) (4,2)(-2, 2)\ (4, 2)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=5c=3a = 5 \qquad c = 3

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es aa

b=(5)2−(3)2=25−9=16=4b = \sqrt{(5)^2 - (3)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
a55
b44
c33

Ya con bb trazamos la elipse

bca

Sustituimos en la fórmula

h=1k=2C=(h, k)h = 1 \qquad k = 2 \qquad C = (h,\, k)
La elipse es horizontal, así que a2=25a^2 = 25 va debajo de xx
(x−1)225+(y−2)216=116(x−1)2+25(y−2)2=40016(x2−2x+1)+25(y2−4y+4)=40016x2−32x+16+25y2−100y+100=40016x2+25y2−32x−100y+116−400=0\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} + \dfrac{(y - 2)^2}{16} &= 1 \\ 16(x - 1)^2 + 25(y - 2)^2 &= 400 \\ 16(x^2 - 2x + 1) + 25(y^2 - 4y + 4) &= 400 \\ 16x^2 - 32x + 16 + 25y^2 - 100y + 100 &= 400 \\ 16x^2 + 25y^2 - 32x - 100y + 116 - 400 &= 0 \end{aligned}
16x2+25y2−32x−100y−284=016x^2 + 25y^2 - 32x - 100y - 284 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−4,2) (6,2)(-4, 2)\ (6, 2)
16(−4)2+25(2)2−32(−4)−100(2)−284=0256+100+128−200−284=0484−484=00=0\begin{aligned} 16(-4)^2 + 25(2)^2 - 32(-4) - 100(2) - 284 &= 0 \\ 256 + 100 + 128 - 200 - 284 &= 0 \\ 484 - 484 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
16(6)2+25(2)2−32(6)−100(2)−284=0576+100−192−200−284=0676−676=00=0\begin{aligned} 16(6)^2 + 25(2)^2 - 32(6) - 100(2) - 284 &= 0 \\ 576 + 100 - 192 - 200 - 284 &= 0 \\ 676 - 676 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}

Ejercicios

Ejercicio 1
{C=(0,0)V:(−5,0) (5,0)F:(−4,0) (4,0)\begin{cases} C = (0, 0) \\ V: (-5, 0)\ (5, 0) \\ F: (-4, 0)\ (4, 0) \end{cases}
Ejercicio 2
{C=(2,−1)V:(2,4) (2,−6)F:(2,2) (2,−4)\begin{cases} C = (2, -1) \\ V: (2, 4)\ (2, -6) \\ F: (2, 2)\ (2, -4) \end{cases}
Ejercicio 3
{C=(−2,3)V:(−2,8) (−2,−2)F:(−2,7) (−2,−1)\begin{cases} C = (-2, 3) \\ V: (-2, 8)\ (-2, -2) \\ F: (-2, 7)\ (-2, -1) \end{cases}
Ejercicio 4
{C=(4,−2)V:(−1,−2) (9,−2)F:(0,−2) (8,−2)\begin{cases} C = (4, -2) \\ V: (-1, -2)\ (9, -2) \\ F: (0, -2)\ (8, -2) \end{cases}

Respuestas

▼
Ejercicio 1
centro(0,0)(0, 0)
vértices(−5,0) (5,0)(-5, 0)\ (5, 0)
focos(−4,0) (4,0)(-4, 0)\ (4, 0)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=5c=4a = 5 \qquad c = 4

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es aa

b=(5)2−(4)2=25−16=9=3b = \sqrt{(5)^2 - (4)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
a55
b33
c44

Ya con bb trazamos la elipse

bca

Sustituimos en la fórmula

h=0k=0C=(h, k)h = 0 \qquad k = 0 \qquad C = (h,\, k)
La elipse es horizontal, así que a2=25a^2 = 25 va debajo de xx
x225+y29=19x2+25y2=2259x2+25y2−225=0\begin{aligned} \dfrac{x^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} + \dfrac{y^2}{9} &= 1 \\ 9x^2 + 25y^2 &= 225 \\ 9x^2 + 25y^2 - 225 &= 0 \end{aligned}
9x2+25y2−225=09x^2 + 25y^2 - 225 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−5,0) (5,0)(-5, 0)\ (5, 0)
9(−5)2+25(0)2−225=0225+0−225=00=0\begin{aligned} 9(-5)^2 + 25(0)^2 - 225 &= 0 \\ 225 + 0 - 225 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
9(5)2+25(0)2−225=0225+0−225=00=0\begin{aligned} 9(5)^2 + 25(0)^2 - 225 &= 0 \\ 225 + 0 - 225 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 2
centro(2,−1)(2, -1)
vértices(2,4) (2,−6)(2, 4)\ (2, -6)
focos(2,2) (2,−4)(2, 2)\ (2, -4)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=5c=3a = 5 \qquad c = 3

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es aa

b=(5)2−(3)2=25−9=16=4b = \sqrt{(5)^2 - (3)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
a55
b44
c33

Ya con bb trazamos la elipse

bca

Sustituimos en la fórmula

h=2k=−1C=(h, k)h = 2 \qquad k = -1 \qquad C = (h,\, k)
La elipse es vertical, así que a2=25a^2 = 25 va debajo de yy
(x−2)216+(y+1)225=125(x−2)2+16(y+1)2=40025(x2−4x+4)+16(y2+2y+1)=40025x2−100x+100+16y2+32y+16=40025x2+16y2−100x+32y+116−400=0\begin{aligned} \dfrac{(x - 2)^2}{16} + \dfrac{(y + 1)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} &= 1 \\ 25(x - 2)^2 + 16(y + 1)^2 &= 400 \\ 25(x^2 - 4x + 4) + 16(y^2 + 2y + 1) &= 400 \\ 25x^2 - 100x + 100 + 16y^2 + 32y + 16 &= 400 \\ 25x^2 + 16y^2 - 100x + 32y + 116 - 400 &= 0 \end{aligned}
25x2+16y2−100x+32y−284=025x^2 + 16y^2 - 100x + 32y - 284 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(2,4) (2,−6)(2, 4)\ (2, -6)
25(2)2+16(4)2−100(2)+32(4)−284=0100+256−200+128−284=0484−484=00=0\begin{aligned} 25(2)^2 + 16(4)^2 - 100(2) + 32(4) - 284 &= 0 \\ 100 + 256 - 200 + 128 - 284 &= 0 \\ 484 - 484 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
25(2)2+16(−6)2−100(2)+32(−6)−284=0100+576−200−192−284=0676−676=00=0\begin{aligned} 25(2)^2 + 16(-6)^2 - 100(2) + 32(-6) - 284 &= 0 \\ 100 + 576 - 200 - 192 - 284 &= 0 \\ 676 - 676 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 3
centro(−2,3)(-2, 3)
vértices(−2,8) (−2,−2)(-2, 8)\ (-2, -2)
focos(−2,7) (−2,−1)(-2, 7)\ (-2, -1)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=5c=4a = 5 \qquad c = 4

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es aa

b=(5)2−(4)2=25−16=9=3b = \sqrt{(5)^2 - (4)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
a55
b33
c44

Ya con bb trazamos la elipse

bca

Sustituimos en la fórmula

h=−2k=3C=(h, k)h = -2 \qquad k = 3 \qquad C = (h,\, k)
La elipse es vertical, así que a2=25a^2 = 25 va debajo de yy
(x+2)29+(y−3)225=125(x+2)2+9(y−3)2=22525(x2+4x+4)+9(y2−6y+9)=22525x2+100x+100+9y2−54y+81=22525x2+9y2+100x−54y+181−225=0\begin{aligned} \dfrac{(x + 2)^2}{9} + \dfrac{(y - 3)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} &= 1 \\ 25(x + 2)^2 + 9(y - 3)^2 &= 225 \\ 25(x^2 + 4x + 4) + 9(y^2 - 6y + 9) &= 225 \\ 25x^2 + 100x + 100 + 9y^2 - 54y + 81 &= 225 \\ 25x^2 + 9y^2 + 100x - 54y + 181 - 225 &= 0 \end{aligned}
25x2+9y2+100x−54y−44=025x^2 + 9y^2 + 100x - 54y - 44 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−2,8) (−2,−2)(-2, 8)\ (-2, -2)
25(−2)2+9(8)2+100(−2)−54(8)−44=0100+576−200−432−44=0676−676=00=0\begin{aligned} 25(-2)^2 + 9(8)^2 + 100(-2) - 54(8) - 44 &= 0 \\ 100 + 576 - 200 - 432 - 44 &= 0 \\ 676 - 676 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
25(−2)2+9(−2)2+100(−2)−54(−2)−44=0100+36−200+108−44=0244−244=00=0\begin{aligned} 25(-2)^2 + 9(-2)^2 + 100(-2) - 54(-2) - 44 &= 0 \\ 100 + 36 - 200 + 108 - 44 &= 0 \\ 244 - 244 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 4
centro(4,−2)(4, -2)
vértices(−1,−2) (9,−2)(-1, -2)\ (9, -2)
focos(0,−2) (8,−2)(0, -2)\ (8, -2)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=5c=4a = 5 \qquad c = 4

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es aa

b=(5)2−(4)2=25−16=9=3b = \sqrt{(5)^2 - (4)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
a55
b33
c44

Ya con bb trazamos la elipse

bca

Sustituimos en la fórmula

h=4k=−2C=(h, k)h = 4 \qquad k = -2 \qquad C = (h,\, k)
La elipse es horizontal, así que a2=25a^2 = 25 va debajo de xx
(x−4)225+(y+2)29=19(x−4)2+25(y+2)2=2259(x2−8x+16)+25(y2+4y+4)=2259x2−72x+144+25y2+100y+100=2259x2+25y2−72x+100y+244−225=0\begin{aligned} \dfrac{(x - 4)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{2525}} + \dfrac{(y + 2)^2}{9} &= 1 \\ 9(x - 4)^2 + 25(y + 2)^2 &= 225 \\ 9(x^2 - 8x + 16) + 25(y^2 + 4y + 4) &= 225 \\ 9x^2 - 72x + 144 + 25y^2 + 100y + 100 &= 225 \\ 9x^2 + 25y^2 - 72x + 100y + 244 - 225 &= 0 \end{aligned}
9x2+25y2−72x+100y+19=09x^2 + 25y^2 - 72x + 100y + 19 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−1,−2) (9,−2)(-1, -2)\ (9, -2)
9(−1)2+25(−2)2−72(−1)+100(−2)+19=09+100+72−200+19=0200−200=00=0\begin{aligned} 9(-1)^2 + 25(-2)^2 - 72(-1) + 100(-2) + 19 &= 0 \\ 9 + 100 + 72 - 200 + 19 &= 0 \\ 200 - 200 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
9(9)2+25(−2)2−72(9)+100(−2)+19=0729+100−648−200+19=0848−848=00=0\begin{aligned} 9(9)^2 + 25(-2)^2 - 72(9) + 100(-2) + 19 &= 0 \\ 729 + 100 - 648 - 200 + 19 &= 0 \\ 848 - 848 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}

Ejercicios extra

▼
Bloque 1
{C=(0,0)V:(−10,0) (10,0)F:(−6,0) (6,0)\begin{cases} C = (0, 0) \\ V: (-10, 0)\ (10, 0) \\ F: (-6, 0)\ (6, 0) \end{cases}
{C=(3,1)V:(3,6) (3,−4)F:(3,4) (3,−2)\begin{cases} C = (3, 1) \\ V: (3, 6)\ (3, -4) \\ F: (3, 4)\ (3, -2) \end{cases}
{C=(−1,2)V:(−6,2) (4,2)F:(−5,2) (3,2)\begin{cases} C = (-1, 2) \\ V: (-6, 2)\ (4, 2) \\ F: (-5, 2)\ (3, 2) \end{cases}
{C=(0,−3)V:(−13,−3) (13,−3)F:(−5,−3) (5,−3)\begin{cases} C = (0, -3) \\ V: (-13, -3)\ (13, -3) \\ F: (-5, -3)\ (5, -3) \end{cases}
{C=(2,0)V:(2,5) (2,−5)F:(2,3) (2,−3)\begin{cases} C = (2, 0) \\ V: (2, 5)\ (2, -5) \\ F: (2, 3)\ (2, -3) \end{cases}
Bloque 2
{C=(−4,−1)V:(−14,−1) (6,−1)F:(−10,−1) (2,−1)\begin{cases} C = (-4, -1) \\ V: (-14, -1)\ (6, -1) \\ F: (-10, -1)\ (2, -1) \end{cases}
{C=(1,−2)V:(1,3) (1,−7)F:(1,2) (1,−6)\begin{cases} C = (1, -2) \\ V: (1, 3)\ (1, -7) \\ F: (1, 2)\ (1, -6) \end{cases}
{C=(5,4)V:(0,4) (10,4)F:(1,4) (9,4)\begin{cases} C = (5, 4) \\ V: (0, 4)\ (10, 4) \\ F: (1, 4)\ (9, 4) \end{cases}
{C=(−3,0)V:(−3,13) (−3,−13)F:(−3,12) (−3,−12)\begin{cases} C = (-3, 0) \\ V: (-3, 13)\ (-3, -13) \\ F: (-3, 12)\ (-3, -12) \end{cases}
{C=(0,2)V:(−5,2) (5,2)F:(−3,2) (3,2)\begin{cases} C = (0, 2) \\ V: (-5, 2)\ (5, 2) \\ F: (-3, 2)\ (3, 2) \end{cases}
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