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Matemáticas 3 · Tema 21

Ecuación general de la hipérbola

Apuntes

Horizontal
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1\dfrac{(x-h)^2}{a^2} - \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Vertical
(y−k)2a2−(x−h)2b2=1\dfrac{(y-k)^2}{a^2} - \dfrac{(x-h)^2}{b^2} = 1

Aquí la resta es lo que manda: a2a^2 va siempre en el término positivo, y ése dice hacia dónde abren las ramas. Si el positivo es el de xx la hipérbola es horizontal; si es el de yy, vertical. A diferencia de la elipse, aquí aa no tiene que ser mayor que bb.

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}

El triángulo se invierte respecto a la elipse: aquí aa y bb son los catetos y la hipotenusa es cc — ahora sí como en el triángulo de siempre—, así que el foco queda más lejos que el vértice. El centro sigue siendo (h, k)(h,\, k), aa va del centro a un vértice y cc del centro a un foco.

y−k=±ba(x−h)y - k = \pm\dfrac{b}{a}(x - h)

Los catetos arman el rectángulo fundamental y sus diagonales son las asíntotas: las rectas a las que las ramas se acercan sin tocarlas. Dibujarlas primero hace fácil el trazo. En la vertical la pendiente se invierte: ±ab\pm\dfrac{a}{b}.

abchipotenusaC(h, k)vérticefocoasíntotas

Ejemplo

centro(1,2)(1, 2)
vértices(−2,2) (4,2)(-2, 2)\ (4, 2)
focos(−4,2) (6,2)(-4, 2)\ (6, 2)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=3c=5a = 3 \qquad c = 5

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es cc

b=(5)2−(3)2=25−9=16=4b = \sqrt{(5)^2 - (3)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
a33
b44
c55

Ya con bb trazamos el rectángulo, las asíntotas y las ramas

abc
y−2=±43(x−1)y - 2 = \pm\dfrac{4}{3}(x - 1)

Sustituimos en la fórmula

h=1k=2C=(h, k)h = 1 \qquad k = 2 \qquad C = (h,\, k)
Las ramas abren en xx, así que la hipérbola es horizontal y a2=9a^2 = 9 va en el término positivo
(x−1)29−(y−2)216=116(x−1)2−9(y−2)2=14416(x2−2x+1)−9(y2−4y+4)=14416x2−32x+16−9y2+36y−36=14416x2−9y2−32x+36y−20−144=0\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{99}} - \dfrac{(y - 2)^2}{16} &= 1 \\ 16(x - 1)^2 - 9(y - 2)^2 &= 144 \\ 16(x^2 - 2x + 1) - 9(y^2 - 4y + 4) &= 144 \\ 16x^2 - 32x + 16 - 9y^2 + 36y - 36 &= 144 \\ 16x^2 - 9y^2 - 32x + 36y - 20 - 144 &= 0 \end{aligned}
16x2−9y2−32x+36y−164=016x^2 - 9y^2 - 32x + 36y - 164 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−2,2) (4,2)(-2, 2)\ (4, 2)
16(−2)2−9(2)2−32(−2)+36(2)−164=064−36+64+72−164=0200−200=00=0\begin{aligned} 16(-2)^2 - 9(2)^2 - 32(-2) + 36(2) - 164 &= 0 \\ 64 - 36 + 64 + 72 - 164 &= 0 \\ 200 - 200 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
16(4)2−9(2)2−32(4)+36(2)−164=0256−36−128+72−164=0328−328=00=0\begin{aligned} 16(4)^2 - 9(2)^2 - 32(4) + 36(2) - 164 &= 0 \\ 256 - 36 - 128 + 72 - 164 &= 0 \\ 328 - 328 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}

Ejercicios

Ejercicio 1
{C=(0,0)V:(−4,0) (4,0)F:(−5,0) (5,0)\begin{cases} C = (0, 0) \\ V: (-4, 0)\ (4, 0) \\ F: (-5, 0)\ (5, 0) \end{cases}
Ejercicio 2
{C=(2,−1)V:(2,2) (2,−4)F:(2,4) (2,−6)\begin{cases} C = (2, -1) \\ V: (2, 2)\ (2, -4) \\ F: (2, 4)\ (2, -6) \end{cases}
Ejercicio 3
{C=(−2,1)V:(−2,5) (−2,−3)F:(−2,6) (−2,−4)\begin{cases} C = (-2, 1) \\ V: (-2, 5)\ (-2, -3) \\ F: (-2, 6)\ (-2, -4) \end{cases}
Ejercicio 4
{C=(3,−2)V:(0,−2) (6,−2)F:(−2,−2) (8,−2)\begin{cases} C = (3, -2) \\ V: (0, -2)\ (6, -2) \\ F: (-2, -2)\ (8, -2) \end{cases}

Respuestas

▼
Ejercicio 1
centro(0,0)(0, 0)
vértices(−4,0) (4,0)(-4, 0)\ (4, 0)
focos(−5,0) (5,0)(-5, 0)\ (5, 0)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=4c=5a = 4 \qquad c = 5

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es cc

b=(5)2−(4)2=25−16=9=3b = \sqrt{(5)^2 - (4)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
a44
b33
c55

Ya con bb trazamos el rectángulo, las asíntotas y las ramas

abc
y=±34xy = \pm\dfrac{3}{4}x

Sustituimos en la fórmula

h=0k=0C=(h, k)h = 0 \qquad k = 0 \qquad C = (h,\, k)
Las ramas abren en xx, así que la hipérbola es horizontal y a2=16a^2 = 16 va en el término positivo
x216−y29=19x2−16y2=1449x2−16y2−144=0\begin{aligned} \dfrac{x^2}{\colorbox{#FFF1A8}{1616}} - \dfrac{y^2}{9} &= 1 \\ 9x^2 - 16y^2 &= 144 \\ 9x^2 - 16y^2 - 144 &= 0 \end{aligned}
9x2−16y2−144=09x^2 - 16y^2 - 144 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−4,0) (4,0)(-4, 0)\ (4, 0)
9(−4)2−16(0)2−144=0144−0−144=00=0\begin{aligned} 9(-4)^2 - 16(0)^2 - 144 &= 0 \\ 144 - 0 - 144 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
9(4)2−16(0)2−144=0144−0−144=00=0\begin{aligned} 9(4)^2 - 16(0)^2 - 144 &= 0 \\ 144 - 0 - 144 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 2
centro(2,−1)(2, -1)
vértices(2,2) (2,−4)(2, 2)\ (2, -4)
focos(2,4) (2,−6)(2, 4)\ (2, -6)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=3c=5a = 3 \qquad c = 5

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es cc

b=(5)2−(3)2=25−9=16=4b = \sqrt{(5)^2 - (3)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
a33
b44
c55

Ya con bb trazamos el rectángulo, las asíntotas y las ramas

bac
y+1=±34(x−2)y + 1 = \pm\dfrac{3}{4}(x - 2)

Sustituimos en la fórmula

h=2k=−1C=(h, k)h = 2 \qquad k = -1 \qquad C = (h,\, k)
Las ramas abren en yy, así que la hipérbola es vertical y a2=9a^2 = 9 va en el término positivo
(y+1)29−(x−2)216=116(y+1)2−9(x−2)2=14416(y2+2y+1)−9(x2−4x+4)=14416y2+32y+16−9x2+36x−36=144−9x2+16y2+36x+32y−20−144=0\begin{aligned} \dfrac{(y + 1)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{99}} - \dfrac{(x - 2)^2}{16} &= 1 \\ 16(y + 1)^2 - 9(x - 2)^2 &= 144 \\ 16(y^2 + 2y + 1) - 9(x^2 - 4x + 4) &= 144 \\ 16y^2 + 32y + 16 - 9x^2 + 36x - 36 &= 144 \\ -9x^2 + 16y^2 + 36x + 32y - 20 - 144 &= 0 \end{aligned}
−9x2+16y2+36x+32y−164=0-9x^2 + 16y^2 + 36x + 32y - 164 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(2,2) (2,−4)(2, 2)\ (2, -4)
−9(2)2+16(2)2+36(2)+32(2)−164=0−36+64+72+64−164=0200−200=00=0\begin{aligned} -9(2)^2 + 16(2)^2 + 36(2) + 32(2) - 164 &= 0 \\ -36 + 64 + 72 + 64 - 164 &= 0 \\ 200 - 200 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
−9(2)2+16(−4)2+36(2)+32(−4)−164=0−36+256+72−128−164=0328−328=00=0\begin{aligned} -9(2)^2 + 16(-4)^2 + 36(2) + 32(-4) - 164 &= 0 \\ -36 + 256 + 72 - 128 - 164 &= 0 \\ 328 - 328 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 3
centro(−2,1)(-2, 1)
vértices(−2,5) (−2,−3)(-2, 5)\ (-2, -3)
focos(−2,6) (−2,−4)(-2, 6)\ (-2, -4)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=4c=5a = 4 \qquad c = 5

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es cc

b=(5)2−(4)2=25−16=9=3b = \sqrt{(5)^2 - (4)^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
a44
b33
c55

Ya con bb trazamos el rectángulo, las asíntotas y las ramas

bac
y−1=±43(x+2)y - 1 = \pm\dfrac{4}{3}(x + 2)

Sustituimos en la fórmula

h=−2k=1C=(h, k)h = -2 \qquad k = 1 \qquad C = (h,\, k)
Las ramas abren en yy, así que la hipérbola es vertical y a2=16a^2 = 16 va en el término positivo
(y−1)216−(x+2)29=19(y−1)2−16(x+2)2=1449(y2−2y+1)−16(x2+4x+4)=1449y2−18y+9−16x2−64x−64=144−16x2+9y2−64x−18y−55−144=0\begin{aligned} \dfrac{(y - 1)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{1616}} - \dfrac{(x + 2)^2}{9} &= 1 \\ 9(y - 1)^2 - 16(x + 2)^2 &= 144 \\ 9(y^2 - 2y + 1) - 16(x^2 + 4x + 4) &= 144 \\ 9y^2 - 18y + 9 - 16x^2 - 64x - 64 &= 144 \\ -16x^2 + 9y^2 - 64x - 18y - 55 - 144 &= 0 \end{aligned}
−16x2+9y2−64x−18y−199=0-16x^2 + 9y^2 - 64x - 18y - 199 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(−2,5) (−2,−3)(-2, 5)\ (-2, -3)
−16(−2)2+9(5)2−64(−2)−18(5)−199=0−64+225+128−90−199=0353−353=00=0\begin{aligned} -16(-2)^2 + 9(5)^2 - 64(-2) - 18(5) - 199 &= 0 \\ -64 + 225 + 128 - 90 - 199 &= 0 \\ 353 - 353 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
−16(−2)2+9(−3)2−64(−2)−18(−3)−199=0−64+81+128+54−199=0263−263=00=0\begin{aligned} -16(-2)^2 + 9(-3)^2 - 64(-2) - 18(-3) - 199 &= 0 \\ -64 + 81 + 128 + 54 - 199 &= 0 \\ 263 - 263 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
Ejercicio 4
centro(3,−2)(3, -2)
vértices(0,−2) (6,−2)(0, -2)\ (6, -2)
focos(−2,−2) (8,−2)(-2, -2)\ (8, -2)

Localizamos los puntos en el plano

ac

Ahí se miden aa y cc

a=3c=5a = 3 \qquad c = 5

Del triángulo sale bb — aquí la hipotenusa es cc

b=(5)2−(3)2=25−9=16=4b = \sqrt{(5)^2 - (3)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
a33
b44
c55

Ya con bb trazamos el rectángulo, las asíntotas y las ramas

abc
y+2=±43(x−3)y + 2 = \pm\dfrac{4}{3}(x - 3)

Sustituimos en la fórmula

h=3k=−2C=(h, k)h = 3 \qquad k = -2 \qquad C = (h,\, k)
Las ramas abren en xx, así que la hipérbola es horizontal y a2=9a^2 = 9 va en el término positivo
(x−3)29−(y+2)216=116(x−3)2−9(y+2)2=14416(x2−6x+9)−9(y2+4y+4)=14416x2−96x+144−9y2−36y−36=14416x2−9y2−96x−36y+108−144=0\begin{aligned} \dfrac{(x - 3)^2}{\colorbox{#FFF1A8}{99}} - \dfrac{(y + 2)^2}{16} &= 1 \\ 16(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 &= 144 \\ 16(x^2 - 6x + 9) - 9(y^2 + 4y + 4) &= 144 \\ 16x^2 - 96x + 144 - 9y^2 - 36y - 36 &= 144 \\ 16x^2 - 9y^2 - 96x - 36y + 108 - 144 &= 0 \end{aligned}
16x2−9y2−96x−36y−36=016x^2 - 9y^2 - 96x - 36y - 36 = 0

Comprobación

Los dos vértices deben cumplir la ecuación

(0,−2) (6,−2)(0, -2)\ (6, -2)
16(0)2−9(−2)2−96(0)−36(−2)−36=00−36−0+72−36=072−72=00=0\begin{aligned} 16(0)^2 - 9(-2)^2 - 96(0) - 36(-2) - 36 &= 0 \\ 0 - 36 - 0 + 72 - 36 &= 0 \\ 72 - 72 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}
16(6)2−9(−2)2−96(6)−36(−2)−36=0576−36−576+72−36=0648−648=00=0\begin{aligned} 16(6)^2 - 9(-2)^2 - 96(6) - 36(-2) - 36 &= 0 \\ 576 - 36 - 576 + 72 - 36 &= 0 \\ 648 - 648 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}

Ejercicios extra

▼
Bloque 1
{C=(0,0)V:(−3,0) (3,0)F:(−5,0) (5,0)\begin{cases} C = (0, 0) \\ V: (-3, 0)\ (3, 0) \\ F: (-5, 0)\ (5, 0) \end{cases}
{C=(1,−1)V:(1,3) (1,−5)F:(1,4) (1,−6)\begin{cases} C = (1, -1) \\ V: (1, 3)\ (1, -5) \\ F: (1, 4)\ (1, -6) \end{cases}
{C=(−3,2)V:(−7,2) (1,2)F:(−8,2) (2,2)\begin{cases} C = (-3, 2) \\ V: (-7, 2)\ (1, 2) \\ F: (-8, 2)\ (2, 2) \end{cases}
{C=(0,4)V:(−6,4) (6,4)F:(−10,4) (10,4)\begin{cases} C = (0, 4) \\ V: (-6, 4)\ (6, 4) \\ F: (-10, 4)\ (10, 4) \end{cases}
{C=(2,0)V:(2,5) (2,−5)F:(2,13) (2,−13)\begin{cases} C = (2, 0) \\ V: (2, 5)\ (2, -5) \\ F: (2, 13)\ (2, -13) \end{cases}
Bloque 2
{C=(−1,−2)V:(−4,−2) (2,−2)F:(−6,−2) (4,−2)\begin{cases} C = (-1, -2) \\ V: (-4, -2)\ (2, -2) \\ F: (-6, -2)\ (4, -2) \end{cases}
{C=(4,1)V:(4,5) (4,−3)F:(4,6) (4,−4)\begin{cases} C = (4, 1) \\ V: (4, 5)\ (4, -3) \\ F: (4, 6)\ (4, -4) \end{cases}
{C=(0,−3)V:(−8,−3) (8,−3)F:(−10,−3) (10,−3)\begin{cases} C = (0, -3) \\ V: (-8, -3)\ (8, -3) \\ F: (-10, -3)\ (10, -3) \end{cases}
{C=(−2,0)V:(−2,12) (−2,−12)F:(−2,13) (−2,−13)\begin{cases} C = (-2, 0) \\ V: (-2, 12)\ (-2, -12) \\ F: (-2, 13)\ (-2, -13) \end{cases}
{C=(5,−1)V:(1,−1) (9,−1)F:(0,−1) (10,−1)\begin{cases} C = (5, -1) \\ V: (1, -1)\ (9, -1) \\ F: (0, -1)\ (10, -1) \end{cases}
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