Semejanza de triángulos — Matemáticas 2

Apuntes

Decimos que dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque sus tamaños sean diferentes. Esto significa que sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Cuando un triángulo está dentro de otro, podemos encontrar medidas desconocidas usando la relación:

\dfrac{\text{Altura}}{\text{Base}} = \dfrac{\text{altura}}{\text{base}}

Ejemplos

Escribe seis proporciones:

\frac{a}{b} = \frac{y}{c}

\frac{b}{c} = \frac{a}{y}

\frac{z}{a} = \frac{x}{y}

\frac{a}{y} = \frac{z}{x}

\frac{x}{c} = \frac{z}{b}

\frac{x}{z} = \frac{c}{b}

Separando los triángulos

Calcula el valor de $x$ .

\begin{aligned} \frac{x}{12} &= \frac{6}{8} \\ 8x &= 6(12) \\ 8x &= 72 \\ x &= \frac{72}{8} \end{aligned}

x = 9

Separando los triángulos

Calcula el valor de $y$ .

\begin{aligned} \frac{y}{10} &= \frac{8}{5} \\ 5y &= 8(10) \\ 5y &= 80 \\ y &= \frac{80}{5} \end{aligned}

y = 16

Calcula la altura de un edificio que da una sombra de $8.5$ m si a la misma hora un poste de altura $2.3$ m da una sombra de $1.5$ m.

\begin{aligned} \frac{X}{8.5} &= \frac{2.3}{1.5} \\ 1.5X &= 2.3(8.5) \\ 1.5X &= 19.55 \\ X &= \frac{19.55}{1.5} \end{aligned}

X \approx 13.03

Ejercicios

Bloque 1

1

Escribe seis proporciones

2

Calcula los valores de $x$ e $y$

3

Calcula la altura de un edificio con sombra de $7.2$ m si un poste de $3.4$ m tiene sombra de $1.3$ m.

Bloque 2

1

Escribe seis proporciones

2

Calcula los valores de $x$ e $y$

3

Calcula la altura de un edificio con sombra de $6.5$ m si un poste de $2.7$ m tiene sombra de $1.4$ m.

Respuestas

▼

Bloque 1 · Proporciones

\frac{x}{a} = \frac{b}{c}

\frac{y}{a} = \frac{z}{c}

\frac{x}{y} = \frac{b}{z}

\frac{a}{x} = \frac{c}{b}

\frac{a}{y} = \frac{c}{z}

\frac{y}{x} = \frac{z}{b}

Bloque 1 · Valor de

y

\begin{aligned} \frac{10}{y} &= \frac{7}{4} \\ 7y &= 4(10) \\ 7y &= 40 \\ y &= \frac{40}{7} \end{aligned}

y \approx 5.71

Bloque 1 · Valor de

x

\begin{aligned} \frac{x}{12} &= \frac{7}{5} \\ 5x &= 7(12) \\ 5x &= 84 \\ x &= \frac{84}{5} \end{aligned}

x = 16.8

Bloque 1 · Sombra

\begin{aligned} \frac{h}{7.2} &= \frac{3.4}{1.3} \\ 1.3h &= 3.4(7.2) \\ 1.3h &= 24.48 \\ h &= \frac{24.48}{1.3} \end{aligned}

h \approx 18.83

Bloque 2 · Proporciones

\frac{a}{z} = \frac{b}{c}

\frac{y}{z} = \frac{x}{c}

\frac{a}{y} = \frac{b}{x}

\frac{z}{a} = \frac{c}{b}

\frac{z}{y} = \frac{c}{x}

\frac{y}{a} = \frac{x}{b}

Bloque 2 · Valor de

x

\begin{aligned} \frac{x}{15} &= \frac{8}{9} \\ 9x &= 8(15) \\ 9x &= 120 \\ x &= \frac{120}{9} \end{aligned}

x \approx 13.33

Bloque 2 · Valor de

x

\begin{aligned} \frac{14}{8} &= \frac{x}{6} \\ 8x &= 14(6) \\ 8x &= 84 \\ x &= \frac{84}{8} \end{aligned}

x = 10.5

Bloque 2 · Sombra

\begin{aligned} \frac{h}{6.5} &= \frac{2.7}{1.4} \\ 1.4h &= 2.7(6.5) \\ 1.4h &= 17.55 \\ h &= \frac{17.55}{1.4} \end{aligned}

h \approx 12.53

Ejercicios extra

▼

1

Escribe seis proporciones

2

Calcula el valor de $x$

3

Calcula la sombra de un árbol de $15$ m si un poste de $1.2$ m tiene sombra de $0.8$ m.

4

Calcula los valores de $x$ e $y$

5

Calcula el valor de $h$

6

Un edificio de $40$ m tiene una sombra de $25$ m. ¿Qué altura tiene un árbol con sombra de $5$ m?

7

Escribe seis proporciones

8

Calcula el valor de $x$

9

Una persona de $1.75$ m proyecta una sombra de $2.1$ m. Calcula la sombra de un edificio de $12$ m.

10

Calcula el valor de $x$

11

Calcula el valor de $y$

12

Un faro proyecta una sombra de $30$ m. Un poste de $2.5$ m proyecta una sombra de $1.8$ m. Calcula la altura del faro.