En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos. Esta relación nos permite encontrar un lado
desconocido si conocemos los otros dos.
a
b
c
Teorema de Pitágoras
Razones trigonométricas
Estas razones las utilizaremos para encontrar el valor del ángulo.
z = ( 15 ) 2 − ( 10 ) 2 z = 225 − 100 z = 125 \begin{aligned}
z &= \sqrt{(15)^2 - (10)^2} \\
z &= \sqrt{225 - 100} \\
z &= \sqrt{125}
\end{aligned} z z z = ( 15 ) 2 − ( 10 ) 2 = 225 − 100 = 125 z ≈ 11.18 z \approx 11.18 z ≈ 11.18
2 · Cálculo del ángulo
α \alpha α cos α = C a h i p = 10 15 cos α = 0.66 \begin{aligned}
\cos\alpha &= \frac{Ca}{hip} = \frac{10}{15} \\
\cos\alpha &= 0.66
\end{aligned} cos α cos α = hi p C a = 15 10 = 0.66 Buscar en tablas o en la calculadora a qué ángulo corresponde cos α = 0.66 \cos\alpha = 0.66 cos α = 0.66
α = 4 8 ∘ \alpha = 48^\circ α = 4 8 ∘
3 · Cálculo del ángulo
β \beta β 90 + 48 + β = 180 β = 180 − 90 − 48 \begin{aligned}
90 + 48 + \beta &= 180 \\
\beta &= 180 - 90 - 48
\end{aligned} 90 + 48 + β β = 180 = 180 − 90 − 48 β = 4 2 ∘ \beta = 42^\circ β = 4 2 ∘
Resuelve cada triángulo: encuentra el lado que falta y los dos ángulos agudos.
Ejercicio 1
x = 1 6 2 − 8 2 x = 256 − 64 x = 192 x ≈ 13.86 cos α = 8 16 = 0.5 α = 6 0 ∘ β = 180 − 90 − 60 β = 3 0 ∘ \begin{aligned}
x &= \sqrt{16^2 - 8^2} \\
x &= \sqrt{256 - 64} \\
x &= \sqrt{192} \\
x &\approx \mathbf{13.86} \\[.35em]
\cos\alpha &= \frac{8}{16} = 0.5 \\
\alpha &= \mathbf{60^\circ} \\[.35em]
\beta &= 180 - 90 - 60 \\
\beta &= \mathbf{30^\circ}
\end{aligned} x x x x cos α α β β = 1 6 2 − 8 2 = 256 − 64 = 192 ≈ 13.86 = 16 8 = 0.5 = 6 0 ∘ = 180 − 90 − 60 = 3 0 ∘
Ejercicio 2
y = 4 2 + 8 2 y = 16 + 64 y = 80 y ≈ 8.94 cos α = 4 8.94 = 0.447 α ≈ 63.4 3 ∘ β = 180 − 90 − 63.43 β ≈ 26.5 7 ∘ \begin{aligned}
y &= \sqrt{4^2 + 8^2} \\
y &= \sqrt{16 + 64} \\
y &= \sqrt{80} \\
y &\approx \mathbf{8.94} \\[.35em]
\cos\alpha &= \frac{4}{8.94} = 0.447 \\
\alpha &\approx \mathbf{63.43^\circ} \\[.35em]
\beta &= 180 - 90 - 63.43 \\
\beta &\approx \mathbf{26.57^\circ}
\end{aligned} y y y y cos α α β β = 4 2 + 8 2 = 16 + 64 = 80 ≈ 8.94 = 8.94 4 = 0.447 ≈ 63.4 3 ∘ = 180 − 90 − 63.43 ≈ 26.5 7 ∘
Ejercicio 3
a = 9 2 − 5 2 a = 81 − 25 a = 56 a ≈ 7.48 cos α = 7.48 9 = 0.831 α ≈ 33.7 9 ∘ β = 180 − 90 − 33.79 β ≈ 56.2 1 ∘ \begin{aligned}
a &= \sqrt{9^2 - 5^2} \\
a &= \sqrt{81 - 25} \\
a &= \sqrt{56} \\
a &\approx \mathbf{7.48} \\[.35em]
\cos\alpha &= \frac{7.48}{9} = 0.831 \\
\alpha &\approx \mathbf{33.79^\circ} \\[.35em]
\beta &= 180 - 90 - 33.79 \\
\beta &\approx \mathbf{56.21^\circ}
\end{aligned} a a a a cos α α β β = 9 2 − 5 2 = 81 − 25 = 56 ≈ 7.48 = 9 7.48 = 0.831 ≈ 33.7 9 ∘ = 180 − 90 − 33.79 ≈ 56.2 1 ∘
Ejercicio 4
y = 1 2 2 + 4 2 y = 144 + 16 y = 160 y ≈ 12.65 cos α = 12 12.65 = 0.948 α ≈ 18.4 3 ∘ β = 180 − 90 − 18.43 β ≈ 71.5 7 ∘ \begin{aligned}
y &= \sqrt{12^2 + 4^2} \\
y &= \sqrt{144 + 16} \\
y &= \sqrt{160} \\
y &\approx \mathbf{12.65} \\[.35em]
\cos\alpha &= \frac{12}{12.65} = 0.948 \\
\alpha &\approx \mathbf{18.43^\circ} \\[.35em]
\beta &= 180 - 90 - 18.43 \\
\beta &\approx \mathbf{71.57^\circ}
\end{aligned} y y y y cos α α β β = 1 2 2 + 4 2 = 144 + 16 = 160 ≈ 12.65 = 12.65 12 = 0.948 ≈ 18.4 3 ∘ = 180 − 90 − 18.43 ≈ 71.5 7 ∘
Ejercicio 5
x = 2 0 2 − 9 2 x = 400 − 81 x = 319 x ≈ 17.86 cos α = 9 20 = 0.45 α ≈ 63.2 6 ∘ β = 180 − 90 − 63.26 β ≈ 26.7 4 ∘ \begin{aligned}
x &= \sqrt{20^2 - 9^2} \\
x &= \sqrt{400 - 81} \\
x &= \sqrt{319} \\
x &\approx \mathbf{17.86} \\[.35em]
\cos\alpha &= \frac{9}{20} = 0.45 \\
\alpha &\approx \mathbf{63.26^\circ} \\[.35em]
\beta &= 180 - 90 - 63.26 \\
\beta &\approx \mathbf{26.74^\circ}
\end{aligned} x x x x cos α α β β = 2 0 2 − 9 2 = 400 − 81 = 319 ≈ 17.86 = 20 9 = 0.45 ≈ 63.2 6 ∘ = 180 − 90 − 63.26 ≈ 26.7 4 ∘
Ejercicio 6
y = 9 2 − 6 2 y = 81 − 36 y = 45 y ≈ 6.71 cos β = 6 9 = 0.666 β ≈ 48.1 9 ∘ α = 180 − 90 − 48.19 α ≈ 41.8 1 ∘ \begin{aligned}
y &= \sqrt{9^2 - 6^2} \\
y &= \sqrt{81 - 36} \\
y &= \sqrt{45} \\
y &\approx \mathbf{6.71} \\[.35em]
\cos\beta &= \frac{6}{9} = 0.666 \\
\beta &\approx \mathbf{48.19^\circ} \\[.35em]
\alpha &= 180 - 90 - 48.19 \\
\alpha &\approx \mathbf{41.81^\circ}
\end{aligned} y y y y cos β β α α = 9 2 − 6 2 = 81 − 36 = 45 ≈ 6.71 = 9 6 = 0.666 ≈ 48.1 9 ∘ = 180 − 90 − 48.19 ≈ 41.8 1 ∘