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Matemáticas 5 · Tema 2

Velocidad media e instantánea

Apuntes

Velocidad media
Es cuánto cambió la posición entre dos momentos, dividido entre el tiempo que pasó: vm=ΔxΔt=xf−xitf−tiv_m = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{x_f - x_i}{t_f - t_i}
donde xix_i es la posición inicial (en el tiempo tit_i) y xfx_f la posición final (en el tiempo tft_f).
Velocidad instantánea
Es la velocidad en un momento exacto, lo que marcaría el velocímetro en ese instante. Se obtiene derivando la función de posición: v(t)=x(ˊt)v(t) = x\'(t)

Ejemplo

Una partícula se mueve según la ecuación x(t)=16t−t2x(t) = 16t - t^2.

a) Posición en ti=0t_i=0 y tf=2t_f=2 xi=x(0)=16(0)−(0)2=0xf=x(2)=16(2)−(2)2=32−4=28\begin{aligned} x_i = x(0) &= 16(0) - (0)^2 = \mathbf{0} \\ x_f = x(2) &= 16(2) - (2)^2 \\ &= 32 - 4 = \mathbf{28} \end{aligned}
b) Velocidad media en (0,2)(0, 2) vm=xf−xitf−tivm=28−02=14\begin{aligned} v_m &= \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \\ v_m &= \frac{28 - 0}{2} = \mathbf{14} \end{aligned}
c) Velocidad instantánea en t=1.2t=1.2 v(t)=x′(t)=16−2tv(1.2)=16−2(1.2)v(1.2)=16−2.4=13.6\begin{aligned} v(t) = x'(t) &= 16 - 2t \\ v(1.2) &= 16 - 2(1.2) \\ v(1.2) &= 16 - 2.4 = \mathbf{13.6} \end{aligned}

Ejercicios

Bloque 1
Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la ecuación x(t)=t2−5tx(t) = t^2 - 5t
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=1t_i=1, tf=3t_f=3?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (1,3)(1, 3)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=1.8t=1.8?
Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la ecuación x(t)=t2+4tx(t) = t^2 + 4t
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=2t_i=2, tf=4t_f=4?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (2,4)(2, 4)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2.5t=2.5?
Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la ecuación x(t)=2t2−6tx(t) = 2t^2 - 6t
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=1t_i=1, tf=4t_f=4?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (1,4)(1, 4)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=3t=3?
Bloque 2
Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la ecuación x(t)=3−2t2x(t) = 3 - 2t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=1t_i=1, tf=5t_f=5?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (1,5)(1, 5)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=3t=3?
Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la ecuación x(t)=5t−t2x(t) = 5t - t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=2t_i=2, tf=6t_f=6?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (2,6)(2, 6)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=3t=3?
Una partícula se mueve a lo largo de una recta según la ecuación x(t)=12t−3t2x(t) = 12t - 3t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=0t_i=0, tf=3t_f=3?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (0,3)(0, 3)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=0.5t=0.5?

Respuestas

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Bloque 1
Ejercicio 1 — x(t)=t2−5tx(t) = t^2 - 5t
a) xi=x(1)=(1)2−5(1)=1−5=−4xf=x(3)=(3)2−5(3)=9−15=−6\begin{aligned} x_i = x(1) &= (1)^2 - 5(1) = 1 - 5 = \mathbf{-4} \\ x_f = x(3) &= (3)^2 - 5(3) = 9 - 15 = \mathbf{-6} \end{aligned}b) vm=xf−xitf−tivm=−6−(−4)2vm=−22=−1\begin{aligned} v_m &= \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \\ v_m &= \frac{-6 - (-4)}{2} \\ v_m &= \frac{-2}{2} = \mathbf{-1} \end{aligned}c) v(t)=x′(t)=2t−5v(1.8)=2(1.8)−5v(1.8)=3.6−5=−1.4\begin{aligned} v(t) = x'(t) &= 2t - 5 \\ v(1.8) &= 2(1.8) - 5 \\ v(1.8) &= 3.6 - 5 = \mathbf{-1.4} \end{aligned}
Ejercicio 2 — x(t)=t2+4tx(t) = t^2 + 4t
a) xi=x(2)=(2)2+4(2)=4+8=12xf=x(4)=(4)2+4(4)=16+16=32\begin{aligned} x_i = x(2) &= (2)^2 + 4(2) = 4 + 8 = \mathbf{12} \\ x_f = x(4) &= (4)^2 + 4(4) = 16 + 16 = \mathbf{32} \end{aligned}b) vm=xf−xitf−tivm=32−122vm=202=10\begin{aligned} v_m &= \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \\ v_m &= \frac{32 - 12}{2} \\ v_m &= \frac{20}{2} = \mathbf{10} \end{aligned}c) v(t)=x′(t)=2t+4v(2.5)=2(2.5)+4v(2.5)=5+4=9\begin{aligned} v(t) = x'(t) &= 2t + 4 \\ v(2.5) &= 2(2.5) + 4 \\ v(2.5) &= 5 + 4 = \mathbf{9} \end{aligned}
Ejercicio 3 — x(t)=2t2−6tx(t) = 2t^2 - 6t
a)xi=x(1)=2(1)2−6(1)=2−6=−4xf=x(4)=2(4)2−6(4)=32−24=8\begin{aligned} x_i = x(1) &= 2(1)^2 - 6(1) = 2 - 6 = \mathbf{-4} \\ x_f = x(4) &= 2(4)^2 - 6(4) = 32 - 24 = \mathbf{8} \end{aligned}b)vm=xf−xitf−tivm=8−(−4)3vm=123=4\begin{aligned} v_m &= \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \\ v_m &= \frac{8 - (-4)}{3} \\ v_m &= \frac{12}{3} = \mathbf{4} \end{aligned}c)v(t)=x′(t)=4t−6v(3)=4(3)−6v(3)=12−6=6\begin{aligned} v(t) = x'(t) &= 4t - 6 \\ v(3) &= 4(3) - 6 \\ v(3) &= 12 - 6 = \mathbf{6} \end{aligned}
Bloque 2
Ejercicio 4 — x(t)=3−2t2x(t) = 3 - 2t^2
a) xi=x(1)=3−2(1)2=3−2=1xf=x(5)=3−2(5)2=3−50=−47\begin{aligned} x_i = x(1) &= 3 - 2(1)^2 = 3 - 2 = \mathbf{1} \\ x_f = x(5) &= 3 - 2(5)^2 = 3 - 50 = \mathbf{-47} \end{aligned}b) vm=xf−xitf−tivm=−47−14vm=−484=−12\begin{aligned} v_m &= \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \\ v_m &= \frac{-47 - 1}{4} \\ v_m &= \frac{-48}{4} = \mathbf{-12} \end{aligned}c) v(t)=x′(t)=−4tv(3)=−4(3)=−12\begin{aligned} v(t) = x'(t) &= -4t \\ v(3) &= -4(3) = \mathbf{-12} \end{aligned}
Ejercicio 5 — x(t)=5t−t2x(t) = 5t - t^2
a) xi=x(2)=5(2)−(2)2=10−4=6xf=x(6)=5(6)−(6)2=30−36=−6\begin{aligned} x_i = x(2) &= 5(2) - (2)^2 = 10 - 4 = \mathbf{6} \\ x_f = x(6) &= 5(6) - (6)^2 = 30 - 36 = \mathbf{-6} \end{aligned}b) vm=xf−xitf−tivm=−6−64vm=−124=−3\begin{aligned} v_m &= \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \\ v_m &= \frac{-6 - 6}{4} \\ v_m &= \frac{-12}{4} = \mathbf{-3} \end{aligned}c) v(t)=x′(t)=5−2tv(3)=5−2(3)v(3)=5−6=−1\begin{aligned} v(t) = x'(t) &= 5 - 2t \\ v(3) &= 5 - 2(3) \\ v(3) &= 5 - 6 = \mathbf{-1} \end{aligned}
Ejercicio 6 — x(t)=12t−3t2x(t) = 12t - 3t^2
a)xi=x(0)=12(0)−3(0)2=0−0=0xf=x(3)=12(3)−3(3)2=36−27=9\begin{aligned} x_i = x(0) &= 12(0) - 3(0)^2 = 0 - 0 = \mathbf{0} \\ x_f = x(3) &= 12(3) - 3(3)^2 = 36 - 27 = \mathbf{9} \end{aligned}b)vm=xf−xitf−tivm=9−03vm=93=3\begin{aligned} v_m &= \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \\ v_m &= \frac{9 - 0}{3} \\ v_m &= \frac{9}{3} = \mathbf{3} \end{aligned}c)v(t)=x′(t)=12−6tv(0.5)=12−6(0.5)v(0.5)=12−3=9\begin{aligned} v(t) = x'(t) &= 12 - 6t \\ v(0.5) &= 12 - 6(0.5) \\ v(0.5) &= 12 - 3 = \mathbf{9} \end{aligned}

Ejercicios extra 1

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Bloque A
Una partícula se mueve según x(t)=2t2−8tx(t) = 2t^2 - 8t
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=0t_i=0, tf=4t_f=4?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (0,4)(0, 4)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2t=2?
Una partícula se mueve según x(t)=t2−10tx(t) = t^2 - 10t
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=3t_i=3, tf=7t_f=7?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (3,7)(3, 7)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=5t=5?
Una partícula se mueve según x(t)=3t2−12tx(t) = 3t^2 - 12t
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=1t_i=1, tf=4t_f=4?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (1,4)(1, 4)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2.5t=2.5?
Bloque B
Una partícula se mueve según x(t)=10+4t−t2x(t) = 10 + 4t - t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=1t_i=1, tf=5t_f=5?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (1,5)(1, 5)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2.5t=2.5?
Una partícula se mueve según x(t)=6−3t2x(t) = 6 - 3t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=2t_i=2, tf=4t_f=4?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (2,4)(2, 4)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=3t=3?
Una partícula se mueve según x(t)=20t−5t2x(t) = 20t - 5t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=0t_i=0, tf=2t_f=2?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (0,2)(0, 2)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=1t=1?

Ejercicios extra 2

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Bloque C
Una partícula se mueve según x(t)=15+t−t2x(t) = 15 + t - t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=1t_i=1, tf=3t_f=3?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (1,3)(1, 3)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2t=2?
Una partícula se mueve según x(t)=5−t2x(t) = 5 - t^2
a) ¿cuál es la posición del móvil cuando ti=1t_i=1, tf=3t_f=3?
b) ¿cuál es la velocidad media en el intervalo (1,3)(1, 3)?
c) ¿cuál es la velocidad instantánea en t=2t=2?
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