Para calcular el área bajo la curva de una función continua f ( x ) f(x) f ( x ) [ a , b ] [a,\,b] [ a , b ]
A = ∫ a b f ( x ) d x A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx A = ∫ a b f ( x ) d x La integración se hace término a término con la regla de la potencia, y al final se evalúa el límite superior menos el inferior, según el Teorema Fundamental del Cálculo.
Encuentra el área bajo la curva f ( x ) = x 2 − 6 x + 11 f(x) = x^2 - 6x + 11 f ( x ) = x 2 − 6 x + 11 [ 1 , 4 ] [1,\,4] [ 1 , 4 ]
Tabulación
x x x y y y x 2 − 6 x + 11 x^2 - 6x + 11 x 2 − 6 x + 11 0 0 0 11 11 11 ( 0 ) 2 − 6 ( 0 ) + 11 = 11 (0)^2 - 6(0) + 11 = 11 ( 0 ) 2 − 6 ( 0 ) + 11 = 11 1 1 1 6 6 6 1 − 6 + 11 = 6 1 - 6 + 11 = 6 1 − 6 + 11 = 6 2 2 2 3 3 3 4 − 12 + 11 = 3 4 - 12 + 11 = 3 4 − 12 + 11 = 3 3 3 3 2 2 2 9 − 18 + 11 = 2 9 - 18 + 11 = 2 9 − 18 + 11 = 2 4 4 4 3 3 3 16 − 24 + 11 = 3 16 - 24 + 11 = 3 16 − 24 + 11 = 3 5 5 5 6 6 6 25 − 30 + 11 = 6 25 - 30 + 11 = 6 25 − 30 + 11 = 6
Resolución analítica
∫ 1 4 ( x 2 − 6 x + 11 ) d x = x 3 3 − 6 x 2 2 + 11 x ∣ 1 4 = ( 4 ) 3 3 − 3 ( 4 ) 2 + 11 ( 4 ) − [ ( 1 ) 3 3 − 3 ( 1 ) 2 + 11 ( 1 ) ] = 64 3 − 3 ( 16 ) + 44 − [ 1 3 − 3 + 11 ] = 64 3 − 48 + 44 − 1 3 + 3 − 11 = 63 3 − 59 + 47 = 9 \begin{aligned}
\int_{1}^{4} (x^2 - 6x + 11) \, dx &= \left. \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 11x \right|_{1}^{4} \\
&= \frac{(4)^3}{3} - 3(4)^2 + 11(4) - \left[ \frac{(1)^3}{3} - 3(1)^2 + 11(1) \right] \\
&= \frac{64}{3} - 3(16) + 44 - \left[ \frac{1}{3} - 3 + 11 \right] \\
&= \frac{64}{3} - 48 + 44 - \frac{1}{3} + 3 - 11 \\
&= \frac{63}{3} - 59 + 47 \\
&= \mathbf{9}
\end{aligned} ∫ 1 4 ( x 2 − 6 x + 11 ) d x = 3 x 3 − 2 6 x 2 + 11 x 1 4 = 3 ( 4 ) 3 − 3 ( 4 ) 2 + 11 ( 4 ) − [ 3 ( 1 ) 3 − 3 ( 1 ) 2 + 11 ( 1 ) ] = 3 64 − 3 ( 16 ) + 44 − [ 3 1 − 3 + 11 ] = 3 64 − 48 + 44 − 3 1 + 3 − 11 = 3 63 − 59 + 47 = 9
Encuentra el área bajo la curva en el intervalo indicado.
Bloque 1
f ( x ) = x 2 − 4 x + 8 f(x) = x^2 - 4x + 8 f ( x ) = x 2 − 4 x + 8 en
[ 1 , 3 ] [1,\,3] [ 1 , 3 ] f ( x ) = x 2 + 6 x + 11 f(x) = x^2 + 6x + 11 f ( x ) = x 2 + 6 x + 11 en
[ − 2 , 0 ] [-2,\,0] [ − 2 , 0 ] f ( x ) = x 2 − 12 x + 39 f(x) = x^2 - 12x + 39 f ( x ) = x 2 − 12 x + 39 en
[ 5 , 9 ] [5,\,9] [ 5 , 9 ]
Bloque 2
f ( x ) = − x 2 + 8 x − 11 f(x) = -x^2 + 8x - 11 f ( x ) = − x 2 + 8 x − 11 en
[ 3 , 5 ] [3,\,5] [ 3 , 5 ] f ( x ) = − x 2 − 8 x − 14 f(x) = -x^2 - 8x - 14 f ( x ) = − x 2 − 8 x − 14 en
[ − 4 , − 3 ] [-4,\,-3] [ − 4 , − 3 ] f ( x ) = − x 2 + 4 x + 1 f(x) = -x^2 + 4x + 1 f ( x ) = − x 2 + 4 x + 1 en
[ 0 , 3 ] [0,\,3] [ 0 , 3 ]
Bloque 1
∫ 1 3 ( x 2 − 4 x + 8 ) d x = x 3 3 − 4 x 2 2 + 8 x ∣ 1 3 = ( 3 ) 3 3 − 2 ( 3 ) 2 + 8 ( 3 ) − [ ( 1 ) 3 3 − 2 ( 1 ) 2 + 8 ( 1 ) ] = 27 3 − 18 + 24 − [ 1 3 − 2 + 8 ] = 9 − 18 + 24 − 1 3 + 2 − 8 = 15 − 1 3 − 6 = 26 3 \begin{aligned}
\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 8) \, dx &= \left. \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 8x \right|_{1}^{3} \\
&= \frac{(3)^3}{3} - 2(3)^2 + 8(3) - \left[ \frac{(1)^3}{3} - 2(1)^2 + 8(1) \right] \\
&= \frac{27}{3} - 18 + 24 - \left[ \frac{1}{3} - 2 + 8 \right] \\
&= 9 - 18 + 24 - \frac{1}{3} + 2 - 8 \\
&= 15 - \frac{1}{3} - 6 = \mathbf{\frac{26}{3}}
\end{aligned} ∫ 1 3 ( x 2 − 4 x + 8 ) d x = 3 x 3 − 2 4 x 2 + 8 x 1 3 = 3 ( 3 ) 3 − 2 ( 3 ) 2 + 8 ( 3 ) − [ 3 ( 1 ) 3 − 2 ( 1 ) 2 + 8 ( 1 ) ] = 3 27 − 18 + 24 − [ 3 1 − 2 + 8 ] = 9 − 18 + 24 − 3 1 + 2 − 8 = 15 − 3 1 − 6 = 3 26
∫ − 2 0 ( x 2 + 6 x + 11 ) d x = x 3 3 + 6 x 2 2 + 11 x ∣ − 2 0 = 0 − [ ( − 2 ) 3 3 + 3 ( − 2 ) 2 + 11 ( − 2 ) ] = 0 − [ − 8 3 + 12 − 22 ] = 8 3 − 12 + 22 = 8 3 + 10 = 38 3 \begin{aligned}
\int_{-2}^{0} (x^2 + 6x + 11) \, dx &= \left. \frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} + 11x \right|_{-2}^{0} \\
&= 0 - \left[ \frac{(-2)^3}{3} + 3(-2)^2 + 11(-2) \right] \\
&= 0 - \left[ -\frac{8}{3} + 12 - 22 \right] \\
&= \frac{8}{3} - 12 + 22 \\
&= \frac{8}{3} + 10 = \mathbf{\frac{38}{3}}
\end{aligned} ∫ − 2 0 ( x 2 + 6 x + 11 ) d x = 3 x 3 + 2 6 x 2 + 11 x − 2 0 = 0 − [ 3 ( − 2 ) 3 + 3 ( − 2 ) 2 + 11 ( − 2 ) ] = 0 − [ − 3 8 + 12 − 22 ] = 3 8 − 12 + 22 = 3 8 + 10 = 3 38
∫ 5 9 ( x 2 − 12 x + 39 ) d x = x 3 3 − 12 x 2 2 + 39 x ∣ 5 9 = ( 9 ) 3 3 − 6 ( 9 ) 2 + 39 ( 9 ) − [ ( 5 ) 3 3 − 6 ( 5 ) 2 + 39 ( 5 ) ] = 729 3 − 486 + 351 − 125 3 + 150 − 195 = 243 − 486 + 351 − 125 3 + 150 − 195 = 63 − 125 3 = 64 3 \begin{aligned}
\int_{5}^{9} (x^2 - 12x + 39) \, dx &= \left. \frac{x^3}{3} - \frac{12x^2}{2} + 39x \right|_{5}^{9} \\
&= \frac{(9)^3}{3} - 6(9)^2 + 39(9) - \left[ \frac{(5)^3}{3} - 6(5)^2 + 39(5) \right] \\
&= \frac{729}{3} - 486 + 351 - \frac{125}{3} + 150 - 195 \\
&= 243 - 486 + 351 - \frac{125}{3} + 150 - 195 \\
&= 63 - \frac{125}{3} = \mathbf{\frac{64}{3}}
\end{aligned} ∫ 5 9 ( x 2 − 12 x + 39 ) d x = 3 x 3 − 2 12 x 2 + 39 x 5 9 = 3 ( 9 ) 3 − 6 ( 9 ) 2 + 39 ( 9 ) − [ 3 ( 5 ) 3 − 6 ( 5 ) 2 + 39 ( 5 ) ] = 3 729 − 486 + 351 − 3 125 + 150 − 195 = 243 − 486 + 351 − 3 125 + 150 − 195 = 63 − 3 125 = 3 64
Bloque 2
∫ 3 5 ( − x 2 + 8 x − 11 ) d x = − x 3 3 + 8 x 2 2 − 11 x ∣ 3 5 = − ( 5 ) 3 3 + 4 ( 5 ) 2 − 11 ( 5 ) − [ − ( 3 ) 3 3 + 4 ( 3 ) 2 − 11 ( 3 ) ] = − 125 3 + 100 − 55 + 27 3 − 36 + 33 = − 125 3 + 45 + 9 − 3 = − 125 3 + 51 = 28 3 \begin{aligned}
\int_{3}^{5} (-x^2 + 8x - 11) \, dx &= \left. -\frac{x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} - 11x \right|_{3}^{5} \\
&= -\frac{(5)^3}{3} + 4(5)^2 - 11(5) - \left[ -\frac{(3)^3}{3} + 4(3)^2 - 11(3) \right] \\
&= -\frac{125}{3} + 100 - 55 + \frac{27}{3} - 36 + 33 \\
&= -\frac{125}{3} + 45 + 9 - 3 \\
&= -\frac{125}{3} + 51 = \mathbf{\frac{28}{3}}
\end{aligned} ∫ 3 5 ( − x 2 + 8 x − 11 ) d x = − 3 x 3 + 2 8 x 2 − 11 x 3 5 = − 3 ( 5 ) 3 + 4 ( 5 ) 2 − 11 ( 5 ) − [ − 3 ( 3 ) 3 + 4 ( 3 ) 2 − 11 ( 3 ) ] = − 3 125 + 100 − 55 + 3 27 − 36 + 33 = − 3 125 + 45 + 9 − 3 = − 3 125 + 51 = 3 28
∫ − 4 − 3 ( − x 2 − 8 x − 14 ) d x = − x 3 3 − 8 x 2 2 − 14 x ∣ − 4 − 3 = − ( − 3 ) 3 3 − 4 ( − 3 ) 2 − 14 ( − 3 ) − [ − ( − 4 ) 3 3 − 4 ( − 4 ) 2 − 14 ( − 4 ) ] = 9 − 36 + 42 − [ 64 3 − 64 + 56 ] = 15 − 64 3 + 8 = 23 − 64 3 = 5 3 \begin{aligned}
\int_{-4}^{-3} (-x^2 - 8x - 14) \, dx &= \left. -\frac{x^3}{3} - \frac{8x^2}{2} - 14x \right|_{-4}^{-3} \\
&= -\frac{(-3)^3}{3} - 4(-3)^2 - 14(-3) - \left[ -\frac{(-4)^3}{3} - 4(-4)^2 - 14(-4) \right] \\
&= 9 - 36 + 42 - \left[ \frac{64}{3} - 64 + 56 \right] \\
&= 15 - \frac{64}{3} + 8 \\
&= 23 - \frac{64}{3} = \mathbf{\frac{5}{3}}
\end{aligned} ∫ − 4 − 3 ( − x 2 − 8 x − 14 ) d x = − 3 x 3 − 2 8 x 2 − 14 x − 4 − 3 = − 3 ( − 3 ) 3 − 4 ( − 3 ) 2 − 14 ( − 3 ) − [ − 3 ( − 4 ) 3 − 4 ( − 4 ) 2 − 14 ( − 4 ) ] = 9 − 36 + 42 − [ 3 64 − 64 + 56 ] = 15 − 3 64 + 8 = 23 − 3 64 = 3 5
∫ 0 3 ( − x 2 + 4 x + 1 ) d x = − x 3 3 + 4 x 2 2 + x ∣ 0 3 = − ( 3 ) 3 3 + 2 ( 3 ) 2 + 3 − [ − ( 0 ) 3 3 + 2 ( 0 ) 2 + 0 ] = − 27 3 + 18 + 3 − 0 = − 9 + 21 = 12 \begin{aligned}
\int_{0}^{3} (-x^2 + 4x + 1) \, dx &= \left. -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + x \right|_{0}^{3} \\
&= -\frac{(3)^3}{3} + 2(3)^2 + 3 - \left[ -\frac{(0)^3}{3} + 2(0)^2 + 0 \right] \\
&= -\frac{27}{3} + 18 + 3 - 0 \\
&= -9 + 21 = \mathbf{12}
\end{aligned} ∫ 0 3 ( − x 2 + 4 x + 1 ) d x = − 3 x 3 + 2 4 x 2 + x 0 3 = − 3 ( 3 ) 3 + 2 ( 3 ) 2 + 3 − [ − 3 ( 0 ) 3 + 2 ( 0 ) 2 + 0 ] = − 3 27 + 18 + 3 − 0 = − 9 + 21 = 12
Bloque A
f ( x ) = x 2 − 2 x + 4 f(x) = x^2 - 2x + 4 f ( x ) = x 2 − 2 x + 4 en
[ 0 , 3 ] [0,\,3] [ 0 , 3 ] f ( x ) = x 2 − 8 x + 17 f(x) = x^2 - 8x + 17 f ( x ) = x 2 − 8 x + 17 en
[ 3 , 6 ] [3,\,6] [ 3 , 6 ] f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 f(x) = x^2 - 4x + 6 f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 en
[ 1 , 4 ] [1,\,4] [ 1 , 4 ]
Bloque B
f ( x ) = − x 2 + 6 x − 4 f(x) = -x^2 + 6x - 4 f ( x ) = − x 2 + 6 x − 4 en
[ 1 , 5 ] [1,\,5] [ 1 , 5 ] f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 f(x) = -x^2 + 2x + 4 f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 en
[ − 1 , 2 ] [-1,\,2] [ − 1 , 2 ] f ( x ) = − x 2 + 4 x − 2 f(x) = -x^2 + 4x - 2 f ( x ) = − x 2 + 4 x − 2 en
[ 1 , 3 ] [1,\,3] [ 1 , 3 ]
Bloque C
f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 f(x) = x^2 + 4x + 5 f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 en
[ − 2 , 1 ] [-2,\,1] [ − 2 , 1 ] f ( x ) = x 2 + 10 x + 26 f(x) = x^2 + 10x + 26 f ( x ) = x 2 + 10 x + 26 en
[ − 5 , − 3 ] [-5,\,-3] [ − 5 , − 3 ] f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 f(x) = x^2 + 2x + 3 f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 en
[ − 1 , 2 ] [-1,\,2] [ − 1 , 2 ]
Bloque D
f ( x ) = x 2 − 6 x + 12 f(x) = x^2 - 6x + 12 f ( x ) = x 2 − 6 x + 12 en
[ 2 , 4 ] [2,\,4] [ 2 , 4 ] f ( x ) = − x 2 + 8 x − 13 f(x) = -x^2 + 8x - 13 f ( x ) = − x 2 + 8 x − 13 en
[ 3 , 5 ] [3,\,5] [ 3 , 5 ] f ( x ) = x 2 + 8 x + 18 f(x) = x^2 + 8x + 18 f ( x ) = x 2 + 8 x + 18 en
[ − 4 , − 2 ] [-4,\,-2] [ − 4 , − 2 ]