Matemáticas 4 · Tema 3
Función escalonada
Apuntes
Una función escalonada (o función constante a trozos) es aquella que toma valores constantes en diferentes intervalos de su dominio. Se expresa con una regla de correspondencia definida por partes.
Notación de intervalos
Intervalo abierto $(a,b)$
La desigualdad es estricta: $a < x < b$
No incluye los extremos.
Se grafica con círculo abierto ○
No incluye los extremos.
Se grafica con círculo abierto ○
Intervalo cerrado $[a,b]$
La desigualdad no es estricta: $a \leq x \leq b$
Sí incluye los extremos.
Se grafica con círculo cerrado ●
Sí incluye los extremos.
Se grafica con círculo cerrado ●
Ejemplo — Graficando a partir de la regla de correspondencia
Grafica la función escalonada, escribe su dominio y su rango.
$$f(x) = \begin{cases} -2 & -2 \leq x < 0 \\[2pt] 2 & 1 \leq x \leq 3 \\[2pt] 5 & 4 < x < 6 \end{cases}$$-
Paso 1 — Trazar los ejes y localizar cada intervaloPara cada pieza se dibuja un segmento horizontal al valor correspondiente en $y$.Pieza 1: segmento en $y=-2$, de $x=-2$ (● cerrado) a $x=0$ (○ abierto)
Pieza 2: segmento en $y=2$, de $x=1$ (● cerrado) a $x=3$ (● cerrado)
Pieza 3: segmento en $y=5$, de $x=4$ (○ abierto) a $x=6$ (○ abierto) -
Paso 2 — Determinar dominio y rangoDominio: $[-2,\,0)\cup[1,\,3]\cup(4,\,6)$ Rango: $\{-2,\;2,\;5\}$
Ejercicios
Para cada función escalonada: grafica cada pieza en el plano cartesiano e indica el dominio y el rango.
1Ejercicio 1
$$f(x) = \begin{cases}
-3 & -4 \leq x \leq -2 \\[2pt]
2 & -1 < x < 1 \\[2pt]
-1 & 2 < x < 4
\end{cases}$$
2Ejercicio 2
$$f(x) = \begin{cases}
4 & -5 < x < -3 \\[2pt]
-2 & -2 \leq x \leq 0 \\[2pt]
1 & 1 \leq x \leq 3
\end{cases}$$
3Ejercicio 3
$$f(x) = \begin{cases}
-2 & -3 < x < -1 \\[2pt]
3 & 0 \leq x \leq 3 \\[2pt]
-4 & 4 < x < 6
\end{cases}$$
4Ejercicio 4
$$f(x) = \begin{cases}
5 & -6 \leq x \leq -3 \\[2pt]
-1 & -2 < x < 1 \\[2pt]
2 & 2 \leq x \leq 3
\end{cases}$$
Respuestas
1Ejercicio 1
Dominio: $[-4,-2]\cup(-1,1)\cup(2,4)$
Rango: $\{-3,\;-1,\;2\}$
Rango: $\{-3,\;-1,\;2\}$
2Ejercicio 2
Dominio: $(-5,-3)\cup[-2,0]\cup[1,3]$
Rango: $\{-2,\;1,\;4\}$
Rango: $\{-2,\;1,\;4\}$
3Ejercicio 3
Dominio: $(-3,-1)\cup[0,3]\cup(4,6)$
Rango: $\{-4,\;-2,\;3\}$
Rango: $\{-4,\;-2,\;3\}$
4Ejercicio 4
Dominio: $[-6,-3]\cup(-2,1)\cup[2,3]$
Rango: $\{-1,\;2,\;5\}$
Rango: $\{-1,\;2,\;5\}$