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Matemáticas 2 · Tema 7

Ecuación de la recta dados dos puntos

Mini apunte

Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, A(x1,y1)A(x_1, y_1) y B(x2,y2)B(x_2, y_2), igualamos la expresión de la pendiente mm evaluada en un punto genérico (x,y)(x, y) con la pendiente entre los dos puntos originales: x−x1x2−x1=y−y1y2−y1\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} Al multiplicar cruzado y agrupar los términos, obtenemos la **ecuación general de la recta** de la forma: Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 Para estar seguros del resultado, realizamos la **comprobación** sustituyendo las coordenadas de los puntos AA y BB en la ecuación general obtenida. Ambos deben cumplir la igualdad a 00.

Ejemplo

Puntos: A(−3,2),B(1,4)A(-3, 2), \quad B(1, 4)

Sustitución y desarrollo:

x−(−3)1−(−3)=y−24−2x+34=y−222(x+3)=4(y−2)2x+6=4y−82x−4y+6+8=02x−4y+14=0\begin{aligned} \dfrac{x - (-3)}{1 - (-3)} &= \dfrac{y - 2}{4 - 2} \\[8pt] \dfrac{x + 3}{4} &= \dfrac{y - 2}{2} \\[8pt] 2(x + 3) &= 4(y - 2) \\[6pt] 2x + 6 &= 4y - 8 \\[6pt] 2x - 4y + 6 + 8 &= 0 \\[6pt] \mathbf{2x - 4y + 14 = 0} \end{aligned}

Comprobación:

Punto A(−3, 2)
2(−3)−4(2)+14=0−6−8+14=0−14+14=00=0\begin{aligned} 2(-3) - 4(2) + 14 &= 0 \\ -6 - 8 + 14 &= 0 \\ -14 + 14 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
Punto B(1, 4)
2(1)−4(4)+14=02−16+14=016−16=00=0\begin{aligned} 2(1) - 4(4) + 14 &= 0 \\ 2 - 16 + 14 &= 0 \\ 16 - 16 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
-4 -3 -2 -1 1 2 1 2 3 4 5 x y A B

Ejercicios

Bloque 1
A(−4,7),B(2,3)A(-4, 7), \quad B(2, 3)
A(3,−2),B(−2,−3)A(3, -2), \quad B(-2, -3)
A(−3,2),B(4,−1)A(-3, 2), \quad B(4, -1)
A(4,−5),B(−3,4)A(4, -5), \quad B(-3, 4)
A(−2,6),B(5,2)A(-2, 6), \quad B(5, 2)
A(1,−4),B(−2,3)A(1, -4), \quad B(-2, 3)

Resoluciones

▼

Recta que pasa por A(−4,7)A(-4, 7) y B(2,3)B(2, 3)

Desarrollo:

x−(−4)2−(−4)=y−73−7x+46=y−7−4−4(x+4)=6(y−7)−4x−16=6y−42−4x−6y+26=0−2x−3y+13=0\begin{aligned} \dfrac{x - (-4)}{2 - (-4)} &= \dfrac{y - 7}{3 - 7} \\[6pt] \dfrac{x + 4}{6} &= \dfrac{y - 7}{-4} \\[6pt] -4(x + 4) &= 6(y - 7) \\[6pt] -4x - 16 &= 6y - 42 \\[6pt] -4x - 6y + 26 &= 0 \\[6pt] \mathbf{-2x - 3y + 13 = 0} \end{aligned}

Comprobación:

Punto A(−4, 7)
−2(−4)−3(7)+13=08−21+13=00=0\begin{aligned} -2(-4) - 3(7) + 13 &= 0 \\ 8 - 21 + 13 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
Punto B(2, 3)
−2(2)−3(3)+13=0−4−9+13=00=0\begin{aligned} -2(2) - 3(3) + 13 &= 0 \\ -4 - 9 + 13 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 x y A B

Recta que pasa por A(3,−2)A(3, -2) y B(−2,−3)B(-2, -3)

Desarrollo:

x−3−2−3=y−(−2)−3−(−2)x−3−5=y+2−1−1(x−3)=−5(y+2)−x+3=−5y−10−x+5y+13=0x−5y−13=0\begin{aligned} \dfrac{x - 3}{-2 - 3} &= \dfrac{y - (-2)}{-3 - (-2)} \\[6pt] \dfrac{x - 3}{-5} &= \dfrac{y + 2}{-1} \\[6pt] -1(x - 3) &= -5(y + 2) \\[6pt] -x + 3 &= -5y - 10 \\[6pt] -x + 5y + 13 &= 0 \\[6pt] \mathbf{x - 5y - 13 = 0} \end{aligned}

Comprobación:

Punto A(3, −2)
(3)−5(−2)−13=03+10−13=00=0\begin{aligned} (3) - 5(-2) - 13 &= 0 \\ 3 + 10 - 13 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
Punto B(−2, −3)
(−2)−5(−3)−13=0−2+15−13=00=0\begin{aligned} (-2) - 5(-3) - 13 &= 0 \\ -2 + 15 - 13 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
-3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x y A B

Recta que pasa por A(−3,2)A(-3, 2) y B(4,−1)B(4, -1)

Desarrollo:

x−(−3)4−(−3)=y−2−1−2x+37=y−2−3−3(x+3)=7(y−2)−3x−9=7y−14−3x−7y+5=03x+7y−5=0\begin{aligned} \dfrac{x - (-3)}{4 - (-3)} &= \dfrac{y - 2}{-1 - 2} \\[6pt] \dfrac{x + 3}{7} &= \dfrac{y - 2}{-3} \\[6pt] -3(x + 3) &= 7(y - 2) \\[6pt] -3x - 9 &= 7y - 14 \\[6pt] -3x - 7y + 5 &= 0 \\[6pt] \mathbf{3x + 7y - 5 = 0} \end{aligned}

Comprobación:

Punto A(−3, 2)
3(−3)+7(2)−5=0−9+14−5=00=0\begin{aligned} 3(-3) + 7(2) - 5 &= 0 \\ -9 + 14 - 5 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
Punto B(4, −1)
3(4)+7(−1)−5=012−7−5=00=0\begin{aligned} 3(4) + 7(-1) - 5 &= 0 \\ 12 - 7 - 5 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 x y A B

Recta que pasa por A(4,−5)A(4, -5) y B(−3,4)B(-3, 4)

Desarrollo:

x−4−3−4=y−(−5)4−(−5)x−4−7=y+599(x−4)=−7(y+5)9x−36=−7y−359x+7y−1=0\begin{aligned} \dfrac{x - 4}{-3 - 4} &= \dfrac{y - (-5)}{4 - (-5)} \\[6pt] \dfrac{x - 4}{-7} &= \dfrac{y + 5}{9} \\[6pt] 9(x - 4) &= -7(y + 5) \\[6pt] 9x - 36 &= -7y - 35 \\[6pt] \mathbf{9x + 7y - 1 = 0} \end{aligned}

Comprobación:

Punto A(4, −5)
9(4)+7(−5)−1=036−35−1=00=0\begin{aligned} 9(4) + 7(-5) - 1 &= 0 \\ 36 - 35 - 1 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
Punto B(−3, 4)
9(−3)+7(4)−1=0−27+28−1=00=0\begin{aligned} 9(-3) + 7(4) - 1 &= 0 \\ -27 + 28 - 1 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y A B

Recta que pasa por A(−2,6)A(-2, 6) y B(5,2)B(5, 2)

Desarrollo:

x−(−2)5−(−2)=y−62−6x+27=y−6−4−4(x+2)=7(y−6)−4x−8=7y−42−4x−7y+34=04x+7y−34=0\begin{aligned} \dfrac{x - (-2)}{5 - (-2)} &= \dfrac{y - 6}{2 - 6} \\[6pt] \dfrac{x + 2}{7} &= \dfrac{y - 6}{-4} \\[6pt] -4(x + 2) &= 7(y - 6) \\[6pt] -4x - 8 &= 7y - 42 \\[6pt] -4x - 7y + 34 &= 0 \\[6pt] \mathbf{4x + 7y - 34 = 0} \end{aligned}

Comprobación:

Punto A(−2, 6)
4(−2)+7(6)−34=0−8+42−34=00=0\begin{aligned} 4(-2) + 7(6) - 34 &= 0 \\ -8 + 42 - 34 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
Punto B(5, 2)
4(5)+7(2)−34=020+14−34=00=0\begin{aligned} 4(5) + 7(2) - 34 &= 0 \\ 20 + 14 - 34 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 x y A B

Recta que pasa por A(1,−4)A(1, -4) y B(−2,3)B(-2, 3)

Desarrollo:

x−1−2−1=y−(−4)3−(−4)x−1−3=y+477(x−1)=−3(y+4)7x−7=−3y−127x+3y+5=0\begin{aligned} \dfrac{x - 1}{-2 - 1} &= \dfrac{y - (-4)}{3 - (-4)} \\[6pt] \dfrac{x - 1}{-3} &= \dfrac{y + 4}{7} \\[6pt] 7(x - 1) &= -3(y + 4) \\[6pt] 7x - 7 &= -3y - 12 \\[6pt] \mathbf{7x + 3y + 5 = 0} \end{aligned}

Comprobación:

Punto A(1, −4)
7(1)+3(−4)+5=07−12+5=00=0\begin{aligned} 7(1) + 3(-4) + 5 &= 0 \\ 7 - 12 + 5 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
Punto B(−2, 3)
7(−2)+3(3)+5=0−14+9+5=00=0\begin{aligned} 7(-2) + 3(3) + 5 &= 0 \\ -14 + 9 + 5 &= 0 \\ \mathbf{0} &\mathbf{= 0} \end{aligned}
-3 -2 -1 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y A B

Ejercicios extra

▼
Bloque 1 · Parte 1
A(1,1),B(3,5)A(1, 1), \quad B(3, 5)
A(−2,4),B(1,−2)A(-2, 4), \quad B(1, -2)
A(0,0),B(−4,2)A(0, 0), \quad B(-4, 2)
Bloque 1 · Parte 2
A(−5,−5),B(5,5)A(-5, -5), \quad B(5, 5)
A(2,6),B(−3,1)A(2, 6), \quad B(-3, 1)
A(4,0),B(0,−8)A(4, 0), \quad B(0, -8)
Bloque 2 · Parte 1
A(3,3),B(−3,−3)A(3, 3), \quad B(-3, -3)
A(−1,7),B(2,4)A(-1, 7), \quad B(2, 4)
A(6,−2),B(−2,6)A(6, -2), \quad B(-2, 6)
Bloque 2 · Parte 2
A(0,5),B(5,0)A(0, 5), \quad B(5, 0)
A(−4,−2),B(4,2)A(-4, -2), \quad B(4, 2)
A(3,−1),B(1,3)A(3, -1), \quad B(1, 3)
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