Matemáticas 2 · Tema 7
Ecuación de la recta dados dos puntos
Mini apunte
Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$, igualamos la expresión de la pendiente $m$ evaluada en un punto genérico $(x, y)$ con la pendiente entre los dos puntos originales:
$$\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$
Al multiplicar cruzado y agrupar los términos, obtenemos la **ecuación general de la recta** de la forma:
$$Ax + By + C = 0$$
Para estar seguros del resultado, realizamos la **comprobación** sustituyendo las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ en la ecuación general obtenida. Ambos deben cumplir la igualdad a $0$.
Ejemplo
Puntos: $A(-3, 2), \quad B(1, 4)$
Sustitución y desarrollo:
$$\begin{aligned}
\dfrac{x - (-3)}{1 - (-3)} &= \dfrac{y - 2}{4 - 2} \\[8pt]
\dfrac{x + 3}{4} &= \dfrac{y - 2}{2} \\[8pt]
2(x + 3) &= 4(y - 2) \\[6pt]
2x + 6 &= 4y - 8 \\[6pt]
2x - 4y + 6 + 8 &= 0 \\[6pt]
\mathbf{2x - 4y + 14 = 0}
\end{aligned}$$
Comprobación:
Punto A(−3, 2)
$$\begin{aligned}
2(-3) - 4(2) + 14 &= 0 \\
-6 - 8 + 14 &= 0 \\
-14 + 14 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Punto B(1, 4)
$$\begin{aligned}
2(1) - 4(4) + 14 &= 0 \\
2 - 16 + 14 &= 0 \\
16 - 16 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Ejercicios
Bloque 1
$A(-4, 7), \quad B(2, 3)$
$A(3, -2), \quad B(-2, -3)$
$A(-3, 2), \quad B(4, -1)$
$A(4, -5), \quad B(-3, 4)$
$A(-2, 6), \quad B(5, 2)$
$A(1, -4), \quad B(-2, 3)$
Resoluciones
▼Recta que pasa por $A(-4, 7)$ y $B(2, 3)$
Desarrollo:
$$\begin{aligned}
\dfrac{x - (-4)}{2 - (-4)} &= \dfrac{y - 7}{3 - 7} \\[6pt]
\dfrac{x + 4}{6} &= \dfrac{y - 7}{-4} \\[6pt]
-4(x + 4) &= 6(y - 7) \\[6pt]
-4x - 16 &= 6y - 42 \\[6pt]
-4x - 6y + 26 &= 0 \\[6pt]
\mathbf{-2x - 3y + 13 = 0}
\end{aligned}$$
Comprobación:
Punto A(−4, 7)
$$\begin{aligned}
-2(-4) - 3(7) + 13 &= 0 \\
8 - 21 + 13 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Punto B(2, 3)
$$\begin{aligned}
-2(2) - 3(3) + 13 &= 0 \\
-4 - 9 + 13 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Recta que pasa por $A(3, -2)$ y $B(-2, -3)$
Desarrollo:
$$\begin{aligned}
\dfrac{x - 3}{-2 - 3} &= \dfrac{y - (-2)}{-3 - (-2)} \\[6pt]
\dfrac{x - 3}{-5} &= \dfrac{y + 2}{-1} \\[6pt]
-1(x - 3) &= -5(y + 2) \\[6pt]
-x + 3 &= -5y - 10 \\[6pt]
-x + 5y + 13 &= 0 \\[6pt]
\mathbf{x - 5y - 13 = 0}
\end{aligned}$$
Comprobación:
Punto A(3, −2)
$$\begin{aligned}
(3) - 5(-2) - 13 &= 0 \\
3 + 10 - 13 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Punto B(−2, −3)
$$\begin{aligned}
(-2) - 5(-3) - 13 &= 0 \\
-2 + 15 - 13 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Recta que pasa por $A(-3, 2)$ y $B(4, -1)$
Desarrollo:
$$\begin{aligned}
\dfrac{x - (-3)}{4 - (-3)} &= \dfrac{y - 2}{-1 - 2} \\[6pt]
\dfrac{x + 3}{7} &= \dfrac{y - 2}{-3} \\[6pt]
-3(x + 3) &= 7(y - 2) \\[6pt]
-3x - 9 &= 7y - 14 \\[6pt]
-3x - 7y + 5 &= 0 \\[6pt]
\mathbf{3x + 7y - 5 = 0}
\end{aligned}$$
Comprobación:
Punto A(−3, 2)
$$\begin{aligned}
3(-3) + 7(2) - 5 &= 0 \\
-9 + 14 - 5 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Punto B(4, −1)
$$\begin{aligned}
3(4) + 7(-1) - 5 &= 0 \\
12 - 7 - 5 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Recta que pasa por $A(4, -5)$ y $B(-3, 4)$
Desarrollo:
$$\begin{aligned}
\dfrac{x - 4}{-3 - 4} &= \dfrac{y - (-5)}{4 - (-5)} \\[6pt]
\dfrac{x - 4}{-7} &= \dfrac{y + 5}{9} \\[6pt]
9(x - 4) &= -7(y + 5) \\[6pt]
9x - 36 &= -7y - 35 \\[6pt]
\mathbf{9x + 7y - 1 = 0}
\end{aligned}$$
Comprobación:
Punto A(4, −5)
$$\begin{aligned}
9(4) + 7(-5) - 1 &= 0 \\
36 - 35 - 1 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Punto B(−3, 4)
$$\begin{aligned}
9(-3) + 7(4) - 1 &= 0 \\
-27 + 28 - 1 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Recta que pasa por $A(-2, 6)$ y $B(5, 2)$
Desarrollo:
$$\begin{aligned}
\dfrac{x - (-2)}{5 - (-2)} &= \dfrac{y - 6}{2 - 6} \\[6pt]
\dfrac{x + 2}{7} &= \dfrac{y - 6}{-4} \\[6pt]
-4(x + 2) &= 7(y - 6) \\[6pt]
-4x - 8 &= 7y - 42 \\[6pt]
-4x - 7y + 34 &= 0 \\[6pt]
\mathbf{4x + 7y - 34 = 0}
\end{aligned}$$
Comprobación:
Punto A(−2, 6)
$$\begin{aligned}
4(-2) + 7(6) - 34 &= 0 \\
-8 + 42 - 34 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Punto B(5, 2)
$$\begin{aligned}
4(5) + 7(2) - 34 &= 0 \\
20 + 14 - 34 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Recta que pasa por $A(1, -4)$ y $B(-2, 3)$
Desarrollo:
$$\begin{aligned}
\dfrac{x - 1}{-2 - 1} &= \dfrac{y - (-4)}{3 - (-4)} \\[6pt]
\dfrac{x - 1}{-3} &= \dfrac{y + 4}{7} \\[6pt]
7(x - 1) &= -3(y + 4) \\[6pt]
7x - 7 &= -3y - 12 \\[6pt]
\mathbf{7x + 3y + 5 = 0}
\end{aligned}$$
Comprobación:
Punto A(1, −4)
$$\begin{aligned}
7(1) + 3(-4) + 5 &= 0 \\
7 - 12 + 5 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Punto B(−2, 3)
$$\begin{aligned}
7(-2) + 3(3) + 5 &= 0 \\
-14 + 9 + 5 &= 0 \\
\mathbf{0} &\mathbf{= 0}
\end{aligned}$$
Ejercicios extra
▼Bloque 1 · Parte 1
$A(1, 1), \quad B(3, 5)$
$A(-2, 4), \quad B(1, -2)$
$A(0, 0), \quad B(-4, 2)$
Bloque 1 · Parte 2
$A(-5, -5), \quad B(5, 5)$
$A(2, 6), \quad B(-3, 1)$
$A(4, 0), \quad B(0, -8)$
Bloque 2 · Parte 1
$A(3, 3), \quad B(-3, -3)$
$A(-1, 7), \quad B(2, 4)$
$A(6, -2), \quad B(-2, 6)$
Bloque 2 · Parte 2
$A(0, 5), \quad B(5, 0)$
$A(-4, -2), \quad B(4, 2)$
$A(3, -1), \quad B(1, 3)$