Matemáticas 1 · Tema 11
mcm y MCD
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor por descomposición en factores primos
Conceptos
mcm — mínimo común múltiplo
El número más pequeño (distinto de cero) que es múltiplo de todos los números del grupo.
Se descompone hasta llegar a $1$ en todas las columnas.
MCD — máximo común divisor
El mayor número que divide exactamente a todos los números del grupo.
Se descompone solo por factores que dividan a todos los números a la vez.
Ejemplos
| 10 | 18 | 25 | 2 |
| 5 | 9 | 25 | 3 |
| 5 | 3 | 25 | 3 |
| 5 | 1 | 25 | 5 |
| 1 | 1 | 5 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
mcm (10, 18, 25)
$\text{mcm} = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$
$\text{mcm} = 2 \cdot 9 \cdot 25$
$\text{mcm} = $ $450$
$\text{mcm} = 2 \cdot 9 \cdot 25$
$\text{mcm} = $ $450$
| 120 | 90 | 180 | 2 |
| 60 | 45 | 90 | 3 |
| 20 | 15 | 30 | 5 |
| 4 | 3 | 6 |
MCD (120, 90, 180)
$\text{MCD} = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$\text{MCD} = $ $30$
$\text{MCD} = $ $30$
Ejercicios
Encuentra el mcm o MCD según se indique.
mcm
- mcm $(40, 50, 15)$
- mcm $(18, 45, 20)$
- mcm $(40, 75, 9)$
- mcm $(10, 14, 20)$
MCD
- MCD $(300, 60, 40)$
- MCD $(250, 100, 75)$
- MCD $(180, 72, 60)$
- MCD $(100, 150, 300)$
Respuestas
▼mcm
| 40 | 50 | 15 | 2 |
| 20 | 25 | 15 | 2 |
| 10 | 25 | 15 | 2 |
| 5 | 25 | 15 | 3 |
| 5 | 25 | 5 | 5 |
| 1 | 5 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
mcm $(40, 50, 15)$
$\text{mcm} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = $ $600$
| 18 | 45 | 20 | 2 |
| 9 | 45 | 10 | 2 |
| 9 | 45 | 5 | 3 |
| 3 | 15 | 5 | 3 |
| 1 | 5 | 5 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
mcm $(18, 45, 20)$
$\text{mcm} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = $ $180$
| 40 | 75 | 9 | 2 |
| 20 | 75 | 9 | 2 |
| 10 | 75 | 9 | 2 |
| 5 | 75 | 9 | 3 |
| 5 | 25 | 3 | 3 |
| 5 | 25 | 1 | 5 |
| 1 | 5 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
mcm $(40, 75, 9)$
$\text{mcm} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = $ $1{,}800$
| 10 | 14 | 20 | 2 |
| 5 | 7 | 10 | 2 |
| 5 | 7 | 5 | 5 |
| 1 | 7 | 1 | 7 |
| 1 | 1 | 1 |
mcm $(10, 14, 20)$
$\text{mcm} = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = $ $140$
MCD
| 300 | 60 | 40 | 2 |
| 150 | 30 | 20 | 2 |
| 75 | 15 | 10 | 5 |
| 15 | 3 | 2 |
MCD $(300, 60, 40)$
$\text{MCD} = 2^2 \cdot 5 = $ $20$
| 250 | 100 | 75 | 5 |
| 50 | 20 | 15 | 5 |
| 10 | 4 | 3 |
MCD $(250, 100, 75)$
$\text{MCD} = 5^2 = $ $25$
| 180 | 72 | 60 | 2 |
| 90 | 36 | 30 | 2 |
| 45 | 18 | 15 | 3 |
| 15 | 6 | 5 |
MCD $(180, 72, 60)$
$\text{MCD} = 2^2 \cdot 3 = $ $12$
| 100 | 150 | 300 | 2 |
| 50 | 75 | 150 | 5 |
| 10 | 15 | 30 | 5 |
| 2 | 3 | 6 |
MCD $(100, 150, 300)$
$\text{MCD} = 2 \cdot 5^2 = $ $50$
Ejercicios extra
▼mcm
- mcm $(12, 15, 20)$
- mcm $(6, 8, 10)$
- mcm $(45, 54, 60)$
- mcm $(24, 36, 48)$
MCD
- MCD $(48, 72, 84)$
- MCD $(105, 120, 150)$
- MCD $(32, 64, 96)$
- MCD $(200, 400, 600)$