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Matemáticas 1 · Tema 9

Ecuaciones con ángulos

Aplicar ecuaciones lineales a triángulos sabiendo que sus ángulos suman 180°

Ejemplo

Encontrar los valores de los ángulos del siguiente triángulo.

2x+10 x 3x

1. Plantear la ecuación

suma de ángulos =180°= 180°

(2x+10)+3x+x=1806x+10=1806x=170x=1706=853\begin{aligned}(2x+10) + 3x + x &= 180 \\ 6x + 10 &= 180 \\ 6x &= 170 \\ x &= \tfrac{170}{6} = \tfrac{85}{3}\end{aligned}

x=x = 853≈28.33°\tfrac{85}{3} \approx 28.33°

2. Calcular cada ángulo

  • x≈28.33°x \approx \mathbf{28.33°}
  • 3x=3(28.33)≈85°3x = 3(28.33) \approx \mathbf{85°}
  • 2x+10=2(28.33)+10≈66.66°2x{+}10 = 2(28.33){+}10 \approx \mathbf{66.66°}

Comprobación:
28.33 + 85 + 66.66 ≈ 180° ✓

Ejercicios

Encontrar los valores de los ángulos de cada triángulo.

2x x 3x−15
x+30 4x 4x
x 2x−10
x 5x−20 3x
x 2x 3x−20
2x+10 3x 4x−10

Respuestas

▼
2x x 3x−15

1. Plantear la ecuación

2x+x+(3x−15)=1806x−15=1806x=195x=32.5°\begin{aligned} 2x + x + (3x - 15) &= 180 \\ 6x - 15 &= 180 \\ 6x &= 195 \\ x &= \mathbf{32.5°} \end{aligned}

2. Calcular cada ángulo

  • x=32.5°x = \mathbf{32.5°}
  • 2x=2(32.5)=65°2x = 2(32.5) = \mathbf{65°}
  • 3x−15=3(32.5)−15=82.5°3x{-}15 = 3(32.5){-}15 = \mathbf{82.5°}

Comprobación:
32.5 + 65 + 82.5 = 180° ✓

x+30 4x 4x

1. Plantear la ecuación

4x+4x+(x+30)=1809x+30=1809x=150x=503\begin{aligned} 4x + 4x + (x + 30) &= 180 \\ 9x + 30 &= 180 \\ 9x &= 150 \\ x &= \tfrac{50}{3} \end{aligned}

x=x = 503≈16.66°\tfrac{50}{3} \approx 16.66°

2. Calcular cada ángulo

  • 4x=4(16.66)≈66.66°4x = 4(16.66) \approx \mathbf{66.66°}
  • x+30=16.66+30≈46.66°x+30 = 16.66+30 \approx \mathbf{46.66°}

Comprobación:
66.66 + 66.66 + 46.66 ≈ 180° ✓

x 2x−10

1. Plantear la ecuación

x+(2x−10)+90=1803x+80=1803x=100x=1003\begin{aligned} x + (2x - 10) + 90 &= 180 \\ 3x + 80 &= 180 \\ 3x &= 100 \\ x &= \tfrac{100}{3} \end{aligned}

x=x = 1003≈33.33°\tfrac{100}{3} \approx 33.33°

2. Calcular cada ángulo

  • x≈33.33°x \approx \mathbf{33.33°}
  • recto =90°= \mathbf{90°}
  • 2x−10=2(33.33)−10≈56.66°2x{-}10 = 2(33.33){-}10 \approx \mathbf{56.66°}

Comprobación:
33.33 + 90 + 56.66 ≈ 180° ✓

x 5x−20 3x

1. Plantear la ecuación

x+(5x−20)+3x=1809x−20=1809x=200x=2009\begin{aligned} x + (5x - 20) + 3x &= 180 \\ 9x - 20 &= 180 \\ 9x &= 200 \\ x &= \tfrac{200}{9} \end{aligned}

x=x = 2009≈22.22°\tfrac{200}{9} \approx 22.22°

2. Calcular cada ángulo

  • x≈22.22°x \approx \mathbf{22.22°}
  • 3x=3(22.22)≈66.66°3x = 3(22.22) \approx \mathbf{66.66°}
  • 5x−20=5(22.22)−20≈91.11°5x{-}20 = 5(22.22){-}20 \approx \mathbf{91.11°}

Comprobación:
22.22 + 66.66 + 91.11 ≈ 180° ✓

x 2x 3x−20

1. Plantear la ecuación

x+2x+(3x−20)=1806x−20=1806x=200x=1003\begin{aligned} x + 2x + (3x - 20) &= 180 \\ 6x - 20 &= 180 \\ 6x &= 200 \\ x &= \tfrac{100}{3} \end{aligned}

x=x = 1003≈33.33°\tfrac{100}{3} \approx 33.33°

2. Calcular cada ángulo

  • x≈33.33°x \approx \mathbf{33.33°}
  • 2x=2(33.33)≈66.66°2x = 2(33.33) \approx \mathbf{66.66°}
  • 3x−20=3(33.33)−20≈80°3x{-}20 = 3(33.33){-}20 \approx \mathbf{80°}

Comprobación:
33.33 + 66.66 + 80 ≈ 180° ✓

2x+10 3x 4x−10

1. Plantear la ecuación

(2x+10)+3x+(4x−10)=1809x=180x=20°\begin{aligned} (2x + 10) + 3x + (4x - 10) &= 180 \\ 9x &= 180 \\ x &= \mathbf{20°} \end{aligned}

2. Calcular cada ángulo

  • 2x+10=2(20)+10=50°2x{+}10 = 2(20){+}10 = \mathbf{50°}
  • 3x=3(20)=60°3x = 3(20) = \mathbf{60°}
  • 4x−10=4(20)−10=70°4x{-}10 = 4(20){-}10 = \mathbf{70°}

Comprobación:
50 + 60 + 70 = 180° ✓

Ejercicios extra 1

▼

Encontrar los valores de los ángulos de cada triángulo.

3x+5 x 2x−5
3x 3x 6x
4x 2x
6x+5 x 2x−5
4x−30 3x+10 2x+20
x+10 3x 2x+20
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