Área y perímetro de triángulos — Matemáticas 1

Apuntes

Para calcular el área y el perímetro de un triángulo en el plano necesitamos tres fórmulas. Las dos primeras dan el área y el perímetro; la tercera, el teorema de Pitágoras, sirve para encontrar los lados cuando conocemos los catetos.

Fórmulas

Área

\text{área} = \dfrac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}

Perímetro

P = b + m + n

Teorema de Pitágoras

c = \sqrt{a^2 + b^2}

La hipotenusa $c$ es el lado opuesto al ángulo recto. Conociendo los catetos $a$ y $b$ (distancias horizontal y vertical), encontramos $c$ .

Ejemplo

c = \sqrt{3^2 + 4^2}

= \sqrt{9 + 16}

= \sqrt{25} =

5

Ejemplo

Encontrar el área y el perímetro del triángulo con vértices en los puntos $(-2,3)$ , $(0,7)$ , $(4,3)$ .

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{6(4)}{2} = \dfrac{24}{2} =$ $12 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

m = \sqrt{4^2 + 2^2}

= \sqrt{16+4}

= \sqrt{20} = 4.47

n = \sqrt{4^2 + 4^2}

= \sqrt{16+16}

= \sqrt{32} = 5.65

$P = 6 + 4.47 + 5.65 =$ $16.12 \; u$

Ejercicios

Encontrar el área y el perímetro de los triángulos con vértices en los puntos:

(-1,2), (3,7), (6,2)

(-4,-1), (-1,5), (2,-1)

(-2,3), (0,5), (4,3)

(0,4), (2,-3), (7,4)

(-3,7), (0,4), (-3,-1)

(4,6), (-1,1), (4,-2)

Respuestas

▼

$(-1,2), (3,7), (6,2)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{7(5)}{2} = \dfrac{35}{2} =$ $17.5 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

m = \sqrt{4^2 + 5^2}

= \sqrt{16+25}

= \sqrt{41} = 6.40

n = \sqrt{3^2 + 5^2}

= \sqrt{9+25}

= \sqrt{34} = 5.83

$P = 7 + 6.40 + 5.83 =$ $19.23 \; u$

$(-4,-1), (-1,5), (2,-1)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{6(6)}{2} = \dfrac{36}{2} =$ $18 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

m = \sqrt{3^2 + 6^2}

= \sqrt{9+36}

= \sqrt{45} = 6.71

n = \sqrt{3^2 + 6^2}

= \sqrt{9+36}

= \sqrt{45} = 6.71

$P = 6 + 6.71 + 6.71 =$ $19.42 \; u$

$(-2,3), (0,5), (4,3)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{6(2)}{2} = \dfrac{12}{2} =$ $6 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

m = \sqrt{2^2 + 2^2}

= \sqrt{4+4}

= \sqrt{8} = 2.83

n = \sqrt{4^2 + 2^2}

= \sqrt{16+4}

= \sqrt{20} = 4.47

$P = 6 + 2.83 + 4.47 =$ $13.30 \; u$

$(0,4), (2,-3), (7,4)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{7(7)}{2} = \dfrac{49}{2} =$ $24.5 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

m = \sqrt{2^2 + 7^2}

= \sqrt{4+49}

= \sqrt{53} = 7.28

n = \sqrt{5^2 + 7^2}

= \sqrt{25+49}

= \sqrt{74} = 8.60

$P = 7 + 7.28 + 8.60 =$ $22.88 \; u$

$(-3,7), (0,4), (-3,-1)$

1. Cálculo del área

base vertical en $x=-3$ , $h$ = distancia horizontal al vértice

$a = \dfrac{8(3)}{2} = \dfrac{24}{2} =$ $12 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

m = \sqrt{3^2 + 3^2}

= \sqrt{9+9}

= \sqrt{18} = 4.24

n = \sqrt{3^2 + 5^2}

= \sqrt{9+25}

= \sqrt{34} = 5.83

$P = 8 + 4.24 + 5.83 =$ $18.07 \; u$

$(4,6), (-1,1), (4,-2)$

1. Cálculo del área

base vertical en $x=4$ , $h$ = distancia horizontal al vértice

$a = \dfrac{8(5)}{2} = \dfrac{40}{2} =$ $20 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

m = \sqrt{5^2 + 5^2}

= \sqrt{25+25}

= \sqrt{50} = 7.07

n = \sqrt{5^2 + 3^2}

= \sqrt{25+9}

= \sqrt{34} = 5.83

$P = 8 + 7.07 + 5.83 =$ $20.90 \; u$

Ejercicios extra 1

▼

(2,3), (8,3), (5,9)

(4,6), (4,1), (9,4)

(0,2), (7,2), (3,8)

(3,5), (3,-5), (8,0)

(-4,-2), (6,-2), (1,4)

(2,3), (2,9), (7,6)

Ejercicios extra 2

▼

(0,0), (11,0), (5,6)

(-3,4), (-3,-4), (5,0)

(1,-3), (10,-3), (6,2)

(7,5), (7,-5), (3,0)