Área y perímetro de triángulos — Matemáticas 1

Apuntes

Para calcular el área y el perímetro de un triángulo en el plano necesitamos tres fórmulas. Las dos primeras dan el área y el perímetro; la tercera, el teorema de Pitágoras, sirve para encontrar los lados cuando conocemos los catetos.

Fórmulas

Área $\text{área} = \dfrac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$

Perímetro $P = b + m + n$

Teorema de Pitágoras

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

La hipotenusa $c$ es el lado opuesto al ángulo recto. Conociendo los catetos $a$ y $b$ (distancias horizontal y vertical), encontramos $c$.

Ejemplo

$c = \sqrt{3^2 + 4^2}$

$= \sqrt{9 + 16}$

$= \sqrt{25} = $ $5$

Ejemplo

Encontrar el área y el perímetro del triángulo con vértices en los puntos $(-2,3)$, $(0,7)$, $(4,3)$.

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{6(4)}{2} = \dfrac{24}{2} = $ $12 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

$m = \sqrt{4^2 + 2^2}$

$= \sqrt{16+4}$

$= \sqrt{20} = 4.47$

$n = \sqrt{4^2 + 4^2}$

$= \sqrt{16+16}$

$= \sqrt{32} = 5.65$

$P = 6 + 4.47 + 5.65 = $ $16.12 \; u$

Ejercicios

Encontrar el área y el perímetro de los triángulos con vértices en los puntos:

$(-1,2), (3,7), (6,2)$

$(-4,-1), (-1,5), (2,-1)$

$(-2,3), (0,5), (4,3)$

$(0,4), (2,-3), (7,4)$

$(-3,7), (0,4), (-3,-1)$

Respuestas

▼

$(-1,2), (3,7), (6,2)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{7(5)}{2} = \dfrac{35}{2} = $ $17.5 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

$m = \sqrt{4^2 + 5^2}$

$= \sqrt{16+25}$

$= \sqrt{41} = 6.40$

$n = \sqrt{3^2 + 5^2}$

$= \sqrt{9+25}$

$= \sqrt{34} = 5.83$

$P = 7 + 6.40 + 5.83 = $ $19.23 \; u$

$(-4,-1), (-1,5), (2,-1)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{6(6)}{2} = \dfrac{36}{2} = $ $18 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

$m = \sqrt{3^2 + 6^2}$

$= \sqrt{9+36}$

$= \sqrt{45} = 6.71$

$n = \sqrt{3^2 + 6^2}$

$= \sqrt{9+36}$

$= \sqrt{45} = 6.71$

$P = 6 + 6.71 + 6.71 = $ $19.42 \; u$

$(-2,3), (0,5), (4,3)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{6(2)}{2} = \dfrac{12}{2} = $ $6 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

$m = \sqrt{2^2 + 2^2}$

$= \sqrt{4+4}$

$= \sqrt{8} = 2.83$

$n = \sqrt{4^2 + 2^2}$

$= \sqrt{16+4}$

$= \sqrt{20} = 4.47$

$P = 6 + 2.83 + 4.47 = $ $13.30 \; u$

$(0,4), (2,-3), (7,4)$

1. Cálculo del área

$a = \dfrac{7(7)}{2} = \dfrac{49}{2} = $ $24.5 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

$m = \sqrt{2^2 + 7^2}$

$= \sqrt{4+49}$

$= \sqrt{53} = 7.28$

$n = \sqrt{5^2 + 7^2}$

$= \sqrt{25+49}$

$= \sqrt{74} = 8.60$

$P = 7 + 7.28 + 8.60 = $ $22.88 \; u$

$(-3,7), (0,4), (-3,-1)$

1. Cálculo del área

base vertical en $x=-3$, $h$ = distancia horizontal al vértice

$a = \dfrac{8(3)}{2} = \dfrac{24}{2} = $ $12 \; u^2$

2. Cálculo del perímetro

$m = \sqrt{3^2 + 3^2}$

$= \sqrt{9+9}$

$= \sqrt{18} = 4.24$

$n = \sqrt{3^2 + 5^2}$

$= \sqrt{9+25}$

$= \sqrt{34} = 5.83$

$P = 8 + 4.24 + 5.83 = $ $18.07 \; u$

Ejercicios extra

▼

$(2,3), (8,3), (5,9)$

$(4,6), (4,1), (9,4)$

$(0,2), (7,2), (3,8)$

$(3,5), (3,-5), (8,0)$

$(-4,-2), (6,-2), (1,4)$

$(2,3), (2,9), (7,6)$

$(0,0), (11,0), (5,6)$

$(-3,4), (-3,-4), (5,0)$

$(1,-3), (10,-3), (6,2)$

$(7,5), (7,-5), (3,0)$